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Die e-Funktion ist in der Oberstufe besonders angenehm: Sie bleibt beim Ableiten im Kern gleich. Dadurch ist sie ein Grundbaustein für Wachstum, Zerfall und viele Kurvendiskussionen.
Hier lernst du, wie du \(e^x\) und zusammengesetzte e-Funktionen ableitest und wann du die Kettenregel brauchst.
- Ich kann die Ableitung von $e^x$ nennen.
- Ich kann konstante Faktoren beim Ableiten behandeln.
- Ich kann $e^{kx+b}$ mit der Kettenregel ableiten.
- Ich kann Produkte mit e-Funktionen erkennen.
- Ich kann Ableitungen durch Strukturkontrolle prüfen.
Die Grundregel
Die wichtigste Eigenschaft lautet: Die Ableitung von \(e^x\) ist wieder \(e^x\).
e-Funktion
Die e-Funktion ist die Funktion \(f(x)=e^x\) mit der Eulerschen Zahl \(e\approx2{,}718\). Ihre Ableitung ist wieder \(e^x\).
\(f(x)=e^x\)
Dann gilt:
\(f'(x)=e^x\).
\(e^x\) ist die einzige Grundfunktion, die beim Ableiten unverändert bleibt.
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Konstante Faktoren
Steht vor der e-Funktion ein fester Faktor, bleibt er beim Ableiten stehen.
Faktorregel
Die Faktorregel sagt: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.
\(f(x)=5e^x\)
Der Faktor \(5\) bleibt stehen.
\(f'(x)=5e^x\).
\(g(x)=-2e^x+7\)
\(-2e^x\) wird zu \(-2e^x\).
\(7\) wird zu \(0\).
\(g'(x)=-2e^x\).
Konstanten ohne \(x\) verschwinden beim Ableiten. Konstante Faktoren vor \(e^x\) bleiben.
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Kettenregel bei \(e^{kx+b}\)
Wenn im Exponenten nicht nur \(x\) steht, brauchst du die innere Ableitung.
Kettenregel bei e-Funktionen
Für \(f(x)=e^{u(x)}\) gilt \(f'(x)=u'(x)\cdot e^{u(x)}\).
\(f(x)=e^{3x}\)
Die innere Funktion ist \(u(x)=3x\).
\(u'(x)=3\).
Also:
\(f'(x)=3e^{3x}\).
\(g(x)=4e^{2x-1}\)
Äußeren Faktor \(4\) behalten.
Innere Ableitung von \(2x-1\) ist \(2\).
\(g'(x)=4\cdot2e^{2x-1}=8e^{2x-1}\).
Bei \(e^{kx+b}\) kommt beim Ableiten der Faktor \(k\) nach vorne.
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Produkte mit e-Funktionen
Wenn eine veränderliche Funktion mit einer e-Funktion multipliziert wird, brauchst du die Produktregel.
Produktregel
Für \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) gilt \(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\).
\(f(x)=x\cdot e^x\)
\(u(x)=x\), also \(u'(x)=1\).
\(v(x)=e^x\), also \(v'(x)=e^x\).
\(f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x\)
\(f'(x)=e^x(1+x)\).
Wenn nur eine Zahl vor der e-Funktion steht, brauchst du keine Produktregel. Bei \(5e^x\) ist \(5\) konstant. Bei \(xe^x\) ist \(x\) veränderlich.
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Prüfungsmodus: Regel erkennen
Der wichtigste Schritt ist nicht das Rechnen, sondern das Erkennen der Struktur.
\(f(x)=7e^{4x+2}\)
Konstanter Faktor: \(7\).
Innere Ableitung: \(4\).
\(f'(x)=28e^{4x+2}\).
\(g(x)=(x^2+1)e^x\)
Hier steht ein veränderlicher Faktor vor \(e^x\).
Du brauchst die Produktregel:
\(g'(x)=2x e^x+(x^2+1)e^x\).
Frage dich: Nur \(e^x\)? Faktor? Innerer Exponent? Produkt?
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Grundregel lautet: \((e^x)'=e^x\). Bei \(e^{u(x)}\) brauchst du die Kettenregel: \((e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}\).
Konstante Faktoren bleiben stehen. Bei Produkten wie \(xe^x\) verwendest du zusätzlich die Produktregel.