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Logarithmusfunktionen tauchen bei Wachstum, Skalen und Umkehrungen von Exponentialfunktionen auf. Ihre Ableitung ist besonders wichtig, weil sie einfach aussieht und trotzdem viel Kettenregel enthält.
Was du nach dieser Seite kannst
- Ich kann die Ableitung von $\ln x$ nennen.
- Ich beachte den Definitionsbereich $x>0$.
- Ich kann $\ln(g(x))$ mit der Kettenregel ableiten.
- Ich kann Faktoren und Summen richtig behandeln.
- Ich kann Ergebnisse durch Struktur prüfen.
Die Grundregel für \(\ln x\)
Der natürliche Logarithmus \(\ln x\) ist nur für positive \(x\) definiert. Seine Ableitung ist der Kehrwert von \(x\).
Ableitung von ln
Für \(x>0\) gilt: \((\ln x)'=\frac{1}{x}\). Allgemeiner gilt \((\ln(g(x)))'=\frac{g'(x)}{g(x)}\), wenn \(g(x)>0\).
Leite \(f(x)=\ln x\) ab.
Direkt mit der Grundregel:
\(f'(x)=\frac{1}{x}\).
Der Definitionsbereich bleibt \(x>0\).
Bei \(\ln(g(x))\) steht die Ableitung der inneren Funktion oben und die innere Funktion unten.
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Kettenregel bei Logarithmen
Sobald im Logarithmus mehr als nur \(x\) steht, brauchst du die Kettenregel. Leite den inneren Term ab und teile durch den inneren Term.
Leite \(f(x)=\ln(3x+1)\) ab.
Innen: \(g(x)=3x+1\), also \(g'(x)=3\).
\(f'(x)=\frac{3}{3x+1}\).
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Prüfungsmodus
Vergiss den Definitionsbereich nicht: Der Ausdruck im Logarithmus muss positiv sein. Das ist besonders bei \(\ln(3x+1)\) wichtig.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Logarithmusableitung ist kurz: \(\ln x\) wird zu \(1/x\). Bei zusammengesetzten Argumenten nutzt du die Kettenregel und beachtest, dass der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist.