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Der Tangens taucht bei Winkeln, Steigungen und trigonometrischen Funktionen auf. Danach kannst du \(\tan(x)\) ableiten und die Regel in zusammengesetzten Funktionen verwenden.
- Ich kann $\tan(x)$ als Quotient aus Sinus und Kosinus deuten.
- Ich kann die Ableitung von $\tan(x)$ nennen.
- Ich kann die Quotientenregel nachvollziehen.
- Ich kann einfache Verkettungen ableiten.
Worum es geht
Die Tangensfunktion ist \(\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). Ihre Ableitung beschreibt die Steigung des Tangensgraphen.
Grundbegriff
Es gilt \(\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\), auch geschrieben als \(1+\tan^2(x)\).
Mit der Quotientenregel: \(\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}\).
Die Ableitung von \(\tan(x)\) ist nicht \(\cos(x)\), sondern \(\frac{1}{\cos^2(x)}\).
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Typische Entscheidung
Viele Aufgaben werden leichter, wenn du zuerst fragst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Einheit oder Form passt dazu?
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Alles auf einen Blick
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Prüfungsmodus
Prüfe in Klausuren den Definitionsbereich: Tangens ist nicht definiert, wenn \(\cos(x)=0\) ist. Ableitungen gelten nur dort, wo die Funktion definiert ist.
Zusammenfassung
Die Tangensableitung folgt sauber aus der Quotientenregel. Für zusammengesetzte Argumente kommt die Kettenregel dazu.