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Wurzelfunktionen tauchen in Analysis-Aufgaben häufig auf. Wenn du sie ableiten kannst, erkennst du Steigungen und löst Tangenten- oder Extremwertaufgaben sicherer.
- Ich kann eine Wurzel als Potenz schreiben.
- Ich kann die Potenzregel auf Wurzeln anwenden.
- Ich kann einfache verkettete Wurzelfunktionen ableiten.
- Ich kann Definitionsbereich und typische Fehler beachten.
Wurzel als Potenz
Der wichtigste Schritt ist die Schreibweise \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\).
Wurzelpotenz
Für \(x>0\) gilt \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\). Dadurch kannst du die Potenzregel zum Ableiten benutzen.
\(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\).
Mit der Potenzregel: \(f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Erst als Potenz schreiben, dann ableiten, danach wenn nötig wieder als Wurzel schreiben.
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Faktor und Kettenregel
Bei \(a\sqrt{x}\) bleibt der Faktor erhalten. Bei \(\sqrt{g(x)}\) brauchst du die Kettenregel.
\(f(x)=5\sqrt{x}\). Dann \(f'(x)=5\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{5}{2\sqrt{x}}\).
\(f(x)=\sqrt{3x+1}=(3x+1)^{\frac{1}{2}}\).
\(f'(x)=\frac{1}{2}(3x+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot3=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}\).
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Prüfungsmodus
Achte darauf, ob nur \(\sqrt{x}\) dasteht oder eine ganze Klammer unter der Wurzel. Das entscheidet über die Kettenregel.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Zum Ableiten von Wurzeln schreibst du sie als Potenzen. Für \(\sqrt{x}\) erhältst du \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Bei Wurzeln über Klammern nutzt du zusätzlich die Kettenregel und prüfst den Definitionsbereich.