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In der analytischen Geometrie willst du manchmal wissen, wie weit ein Punkt von einer Ebene entfernt ist. Danach kannst du die Hessesche Normalform nutzen und den Abstand sicher berechnen.
- Ich kann die Normalenform einer Ebene lesen.
- Ich kann die Abstandsformel für Punkt und Ebene anwenden.
- Ich kann erklären, warum durch die Länge des Normalenvektors geteilt wird.
- Ich kann Vorzeichen durch den Betrag richtig behandeln.
Idee des Abstands
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die kürzeste Entfernung. Diese Strecke steht senkrecht auf der Ebene und zeigt in Richtung des Normalenvektors.
Abstand Punkt Ebene
| Für eine Ebene \(E: ax+by+cz+d=0\) und einen Punkt $P(x_0 | y_0 | z_0)$ gilt: |
|---|
Der Nenner ist die Länge des Normalenvektors \(\vec n=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\).
Berechne den Abstand von \(P(1|2|3)\) zur Ebene \(E: 2x-y+2z-5=0\).
Einsetzen in den Zähler: \(2\cdot1-2+2\cdot3-5=1\). Betrag: \(|1|=1\). Länge des Normalenvektors: \(\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3\).
\(d(P,E)=\frac{1}{3}\).
Erst Punkt einsetzen, dann Betrag nehmen, dann durch die Länge des Normalenvektors teilen.
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Hessesche Normalform
Wenn der Normalenvektor die Länge 1 hat, ist die Ebene in Hessescher Normalform. Dann ist der eingesetzte Betrag direkt der Abstand.
Hessesche Normalform
Eine Ebenengleichung ist in Hessescher Normalform, wenn der Normalenvektor normiert ist, also Länge 1 hat. Dafür teilst du die ganze Gleichung durch \(|\vec n|\).
\(E: 2x-y+2z-5=0\) hat \(|\vec n|=3\). Die Hessesche Normalform ist: \(\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}z-\frac{5}{3}=0\). Setzt du \(P(1|2|3)\) ein, erhältst du \(\frac{1}{3}\).
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Prüfungsmodus
Achte darauf, die Ebene zuerst in Koordinatenform zu haben. Bei Parameterform musst du vorher einen Normalenvektor und die Gleichung bestimmen.
Liegt \(P(1|2|3)\) auf \(E: 2x-y+2z-6=0\)?
Einsetzen: \(2\cdot1-2+6-6=0\). Der Zähler ist 0, also ist der Abstand 0. Der Punkt liegt auf der Ebene.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Der Abstand Punkt Ebene ist die senkrechte Entfernung. In Koordinatenform setzt du den Punkt ein, nimmst den Betrag und teilst durch die Länge des Normalenvektors. So erhältst du einen nichtnegativen Abstand.