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Der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Geraden verläuft senkrecht. Nach dieser Erklärung kannst du diesen Abstand geometrisch und rechnerisch bestimmen.
- Ich kann den Abstand Punkt-Gerade erklären.
- Ich kann die Normalform nutzen.
- Ich kann die Abstandsformel anwenden.
- Ich kann Betrag und Einheit deuten.
Grundidee
Abstand bedeutet immer kürzeste Entfernung. Bei Punkt und Gerade ist diese kürzeste Strecke rechtwinklig zur Geraden.
Abstand Punkt-Gerade
Der Abstand ist die Länge der senkrechten Strecke vom Punkt zur Geraden.
Normalform
Eine Gerade kann als \(ax+by+c=0\) geschrieben werden.
Abstandsformel
Für \(P(x_0|y_0)\) und \(ax+by+c=0\) gilt \(d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Der Betrag ist nötig, weil Abstände nie negativ sind.
Schritt für Schritt
Bringe die Gerade in Normalform, setze den Punkt ein, nimm den Betrag und teile durch \(\sqrt{a^2+b^2}\).
\(y=2x+1\) wird zu \(2x-y+1=0\).
Für \(P(3|2)\): \(d=\frac{|2\cdot3-2+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac5{\sqrt5}=\sqrt5\).
Typische Denkfehler
Beim Umformen von \(y=2x+1\) ist das Vorzeichen wichtig: \(2x-y+1=0\), nicht \(2x+y+1=0\).
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Prüfungsmodus
Notiere \(a\), \(b\) und \(c\) ausdrücklich. So vermeidest du Vorzeichenfehler im Zähler.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Der Abstand Punkt-Gerade ist die senkrechte Entfernung. Rechnerisch nutzt du die Normalform und die Abstandsformel mit Betrag und Normalenlänge.