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Terme können lang wirken, obwohl in ihnen ein gemeinsamer Baustein steckt. Ausklammern macht solche Terme kürzer, Ausmultiplizieren macht Klammern wieder auf. Beides sind Umformungen, die den Wert nicht ändern.
- Ich kann gemeinsame Faktoren erkennen.
- Ich kann Terme ausklammern.
- Ich kann Klammern ausmultiplizieren.
- Ich kann eine Umformung durch Rückrechnung prüfen.
Ausmultiplizieren
Wenn ein Faktor vor einer Klammer steht, wird er mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert.
Distributivgesetz
Das Distributivgesetz lautet \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\). Es verbindet Multiplizieren mit Addieren oder Subtrahieren.
Multipliziere \(3(2x+5)\) aus.
\(3\cdot 2x=6x\)
\(3\cdot 5=15\)
Also gilt \(3(2x+5)=6x+15\).
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Ausklammern als Rückweg
Beim Ausklammern suchst du einen gemeinsamen Faktor in allen Termteilen und ziehst ihn vor die Klammer.
Ausklammern
Beim Ausklammern schreibst du einen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer. In der Klammer bleibt das übrig, was nach dem Teilen durch diesen Faktor entsteht.
Klammer aus: \(6x+15\).
Beide Teile sind durch 3 teilbar.
\(6x:3=2x\) und \(15:3=5\).
Also gilt \(6x+15=3(2x+5)\).
Nach dem Ausklammern muss Ausmultiplizieren wieder den ursprünglichen Term ergeben.
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Mit Variablen ausklammern
Auch Variablen können gemeinsame Faktoren sein. Du darfst aber nur ausklammern, was in jedem Summanden vorkommt.
Klammer aus: \(12x^2-8x\).
Gemeinsam sind 4 und ein \(x\).
\(12x^2:4x=3x\), und \(-8x:4x=-2\).
Also gilt \(12x^2-8x=4x(3x-2)\).
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Prüfungsmodus
Bei Aufgaben mit Minuszeichen passiert der häufigste Fehler. Schreibe nach dem Ausklammern eine kurze Probe.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Ausmultiplizieren und Ausklammern sind Gegenschritte. Nutze das Distributivgesetz bewusst: Beim Öffnen multiplizierst du jeden Klammerteil, beim Ausklammern teilst du jeden Termteil durch denselben gemeinsamen Faktor.