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Wenn ein Versuch nur Erfolg oder Misserfolg hat und mehrmals gleich wiederholt wird, bist du bei Bernoulli-Experimenten. Damit berechnest du Trefferzahlen, zum Beispiel bei Tests, Würfen oder Qualitätskontrollen.
Hier lernst du Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette und die Formel für genau \(k\) Treffer in \(n\) Versuchen.
- Ich kann ein Bernoulli-Experiment erkennen.
- Ich kann erklären, was eine Bernoulli-Kette ist.
- Ich kann die Formel für genau k Treffer anwenden.
- Ich kann Binomialkoeffizienten deuten.
- Ich kann typische Textaufgaben übersetzen.
Bernoulli-Experiment
Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei mögliche Ausgänge: Treffer oder Niete. Die Namen sind frei wählbar.
Bernoulli-Experiment
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen. Einer wird als Treffer mit Wahrscheinlichkeit \(p\) bezeichnet, der andere als Niete mit Wahrscheinlichkeit \(1-p\).
Eine Münze wird einmal geworfen.
Treffer: Kopf.
Niete: Zahl.
Bei einer fairen Münze ist \(p=0{,}5\).
Treffer heißt nicht automatisch "gut". Es ist einfach der Ausgang, den du zählst.
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Bernoulli-Kette
Eine Bernoulli-Kette wiederholt dasselbe Bernoulli-Experiment mehrfach unabhängig mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit.
Bernoulli-Kette
Eine Bernoulli-Kette besteht aus \(n\) unabhängigen Wiederholungen desselben Bernoulli-Experiments mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).
Eine faire Münze wird \(5\)-mal geworfen.
Jeder Wurf hat Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}5\) für Kopf.
Die Würfe beeinflussen sich nicht.
Das ist eine Bernoulli-Kette.
Gleiche Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit sind Pflicht.
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Genau k Treffer
Für genau \(k\) Treffer in \(n\) Versuchen nutzt du die Binomialformel.
Bernoulli-Formel
Die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer in \(n\) Versuchen ist
Eine faire Münze wird \(4\)-mal geworfen. Wie wahrscheinlich sind genau \(2\) Köpfe?
\(n=4\), \(k=2\), \(p=0{,}5\).
\(\binom42=6\).
\(P=6\cdot0{,}0625=0{,}375=37{,}5\,\%\).
\(\binom nk\) zählt, an welchen Positionen die Treffer stehen können.
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Mindestens und höchstens
Viele Aufgaben fragen nicht nach genau, sondern nach mindestens oder höchstens.
"Mindestens 1 Treffer" bedeutet:
\(P(X\ge1)\).
Oft rechnest du einfacher über das Gegenereignis:
\(P(X\ge1)=1-P(X=0)\).
Ein Treffer hat \(p=0{,}2\), es gibt \(3\) Versuche.
\(P(X\ge1)=1-P(X=0)\)
\(=1-0{,}8^3\)
\(=1-0{,}512=0{,}488\).
"Höchstens 2" bedeutet \(0,1,2\) Treffer. "Mindestens 2" bedeutet \(2,3,4,\dots\) Treffer.
Prüfungsmodus: Bedingungen prüfen
Nicht jede wiederholte Situation ist automatisch eine Bernoulli-Kette.
Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne kann eine Bernoulli-Kette sein, wenn Treffer/Niete festgelegt sind.
Ziehen ohne Zurücklegen ist normalerweise keine Bernoulli-Kette, weil sich \(p\) verändert.
Prüfe vor der Formel: zwei Ausgänge, gleiche Trefferwahrscheinlichkeit, unabhängig, feste Anzahl \(n\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Eine Bernoulli-Kette besteht aus unabhängigen Wiederholungen eines Versuchs mit genau zwei Ausgängen und gleicher Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).
Für genau \(k\) Treffer in \(n\) Versuchen gilt \(P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\). Bei "mindestens" oder "höchstens" addierst du passende Fälle oder nutzt das Gegenereignis.