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Der Betrag einer Zahl beschreibt ihren Abstand von 0. Danach kannst du Beträge berechnen, Betragszeichen lesen und einfache Betragsgleichungen verstehen.
- Ich kann den Betrag als Abstand von 0 erklären.
- Ich kann Beträge positiver und negativer Zahlen bestimmen.
- Ich kann Betragszeichen korrekt auswerten.
- Ich kann einfache Betragsgleichungen lösen.
Abstand von 0
Auf der Zahlengeraden kann eine Zahl links oder rechts von 0 liegen. Der Abstand zur 0 ist immer nichtnegativ.
Betrag
Der Betrag \(|a|\) einer Zahl \(a\) ist ihr Abstand von 0 auf der Zahlengeraden. Deshalb gilt immer \(|a|\ge0\).
| $ | 7 | =7$, weil 7 sieben Schritte von 0 entfernt ist. |
|---|---|---|
| $ | 0 | =0$. |
Der Betrag macht eine Zahl nicht „immer positiv“ im Rechenausdruck, sondern er liefert den Abstand von 0.
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Beträge in Rechnungen
Werte zuerst den Ausdruck im Betrag aus. Danach bestimmst du den Abstand von 0.
Berechne \(|3-8|\).
Erst innen rechnen: \(3-8=-5\). Dann Betrag bilden: \(|-5|=5\).
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Einfache Betragsgleichungen
Wenn \(|x|=5\) gilt, kann \(x\) rechts oder links von 0 liegen. Es gibt also zwei Lösungen.
Löse \(|x|=6\).
Gesucht sind alle Zahlen mit Abstand 6 von 0. Das sind \(x=6\) und \(x=-6\).
Löse \(|x-2|=5\).
Der Ausdruck \(x-2\) hat Abstand 5 von 0. Also: \(x-2=5\) oder \(x-2=-5\). Daraus folgt \(x=7\) oder \(x=-3\).
Prüfungsmodus
Eine Gleichung wie \(|x|=-4\) hat keine Lösung, weil ein Betrag nie negativ sein kann.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von 0. Positive und negative Gegenzahlen haben denselben Betrag. Bei Betragsgleichungen denkst du an beide Richtungen auf der Zahlengeraden.