Bogenmaß und Gradmaß einfach erklärt – Regeln & Aufgaben

Winkel kennst du meist in Grad. In höheren Klassen und bei Funktionen taucht aber auch das Bogenmaß auf. Es verbindet Winkel mit dem Einheitskreis und macht viele Rechnungen mit Sinus und Cosinus natürlicher.

Nach dieser Seite kannst du Gradmaß und Bogenmaß unterscheiden, umrechnen und typische Winkel sicher erkennen.

Deine Lernziele

Ich kann Gradmaß und Bogenmaß erklären.
Ich kann die Verbindung über den Kreis verstehen.
Ich kann Grad in Bogenmaß umrechnen.
Ich kann Bogenmaß in Grad umrechnen.
Ich kann wichtige Winkelwerte auswendig zuordnen.

Zwei Arten, Winkel zu messen

Das Gradmaß teilt einen Vollkreis in 360 Grad. Das Bogenmaß misst einen Winkel über die Länge des Kreisbogens am Einheitskreis.

Definition

Gradmaß

Das Gradmaß misst Winkel in Grad. Ein Vollkreis hat $360^\circ$.

Definition

Bogenmaß

Das Bogenmaß misst einen Winkel über die Bogenlänge am Einheitskreis. Ein Vollkreis hat das Bogenmaß $2\pi$.

Beispiel

Ein Halbkreis hat im Gradmaß $180^\circ$. Im Bogenmaß ist das $\pi$, weil der halbe Umfang des Einheitskreises $\pi$ beträgt.

Merke

$180^\circ$ entspricht $\pi$. Diese Zuordnung ist der Schlüssel für fast alle Umrechnungen.

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Grad in Bogenmaß umrechnen

Von Grad zu Bogenmaß multiplizierst du mit $\frac{\pi}{180^\circ}$.

Beispiel

Rechne $60^\circ$ in Bogenmaß um.

$$ 60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{60}{180}\pi=\frac{\pi}{3} $$

Beispiel

Rechne $225^\circ$ in Bogenmaß um.

$$ 225^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{225}{180}\pi=\frac{5\pi}{4} $$

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Bogenmaß in Grad umrechnen

Von Bogenmaß zu Grad multiplizierst du mit $\frac{180^\circ}{\pi}$.

Beispiel

Rechne $\frac{3\pi}{4}$ in Grad um.

$$ \frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=3\cdot45^\circ=135^\circ $$

Merke

Kürzt sich $\pi$ weg, bleibt eine Gradzahl übrig.

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Prüfungsmodus

Achte darauf, ob in der Aufgabe Gradzeichen stehen. Ohne Gradzeichen ist bei Winkelfunktionen oft Bogenmaß gemeint.

Beispiel

Vergleich wichtiger Werte:

Grad	Bogenmaß
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$
$180^\circ$	$\pi$

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Alles auf einen Blick

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Zusammenfassung

Gradmaß und Bogenmaß messen denselben Winkel mit verschiedenen Einheiten. Die wichtigste Brücke ist $180^\circ=\pi$. Von dort aus rechnest du mit den Faktoren $\frac{\pi}{180^\circ}$ und $\frac{180^\circ}{\pi}$ um.

Grad	Bogenmaß
\(30^\circ\)	\(\frac{\pi}{6}\)
\(45^\circ\)	\(\frac{\pi}{4}\)
\(60^\circ\)	\(\frac{\pi}{3}\)
\(90^\circ\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(180^\circ\)	\(\pi\)