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Der Kosinus verbindet einen Winkel mit Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck. Damit kannst du fehlende Seiten oder Winkel berechnen, ohne die Figur ausmessen zu müssen.
- Ich kann Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse unterscheiden.
- Ich kann die Kosinus-Formel im rechtwinkligen Dreieck anwenden.
- Ich kann fehlende Seiten berechnen.
- Ich kann den Winkel mit dem inversen Kosinus bestimmen.
Seiten am rechtwinkligen Dreieck
Der Kosinus bezieht sich immer auf einen spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck. Die Namen der Katheten hängen davon ab, welchen Winkel du betrachtest.
Kosinus
Der Kosinus eines Winkels \(\alpha\) im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis aus Ankathete und Hypotenuse: \(\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\).
Betrachte einen Winkel \(\alpha\).
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel.
Die Ankathete liegt an \(\alpha\) und ist nicht die Hypotenuse.
Die Gegenkathete liegt gegenüber von \(\alpha\).
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Eine Seite berechnen
Wenn Winkel und Hypotenuse bekannt sind, kannst du die Ankathete berechnen.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat \(\alpha=60^\circ\) und die Hypotenuse \(c=10\) cm.
\(\cos(60^\circ)=\frac{a}{10}\)
\(0{,}5=\frac{a}{10}\)
\(a=5\) cm.
Stelle zuerst den Bruch richtig auf. Danach löst du die Gleichung.
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Einen Winkel berechnen
Kennst du Ankathete und Hypotenuse, nutzt du den inversen Kosinus am Taschenrechner.
Inverser Kosinus
Der inverse Kosinus \(\cos^{-1}\) liefert zu einem Seitenverhältnis den passenden Winkel. Auf vielen Rechnern steht dafür acos oder cos^-1.
Ankathete \(a=6\) cm, Hypotenuse \(c=10\) cm.
\(\cos(\alpha)=\frac{6}{10}=0{,}6\)
\(\alpha=\cos^{-1}(0{,}6)\)
\(\alpha\approx 53{,}1^\circ\).
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Prüfungsmodus
Zeichne zuerst den Winkel ein. Dann beschriftest du die Seite an diesem Winkel als Ankathete. So vermeidest du, Sinus und Kosinus zu vertauschen.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Der Kosinus ist ein Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck. Entscheidend ist, den betrachteten Winkel zu markieren und die Ankathete richtig zu finden. Danach ist die Rechnung eine einfache Gleichung.