Definitionsmenge und Wertemenge

Nicht jeder x-Wert ist in jeder Funktion erlaubt. Definitionsmenge und Wertemenge zeigen dir, was du einsetzen darfst und was herauskommen kann.

    :::lernziele
    - Ich kann Definitionsmenge und Wertemenge unterscheiden.

• Ich kann verbotene Nennerwerte finden.

• Ich kann Wurzelbedingungen erkennen.

• Ich kann Ergebnisse als Mengen beschreiben. :::

    ## Grundidee
  
    Bei Brüchen darf der Nenner nicht 0 werden. Bei Quadratwurzeln darf der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ sein. Diese Bedingungen bestimmen oft die Definitionsmenge.
  
    :::definition Definitionsmenge und Wertemenge
    Die **Definitionsmenge** enthält alle erlaubten x-Werte. Die **Wertemenge** enthält alle möglichen Funktionswerte.
    :::
  
    :::beispiel
    Für f(x)=1/(x-3) ist x=3 verboten, weil der Nenner dann 0 wäre. Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen außer 3.
    :::
  
    :::merke
    Definitionsmenge fragt: Was darf hinein? Wertemenge fragt: Was kann herauskommen?
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Was gehört in die Definitionsmenge?
    + Alle erlaubten x-Werte.
    - Alle y-Werte. => Die y-Werte gehören zur Wertemenge.
    ! Alle erlaubten x-Werte. ist richtig.
    ?2 Welcher x-Wert ist bei 1/(x-3) verboten?
    + 3
    - -3 => Der Nenner x-3 darf nicht 0 werden.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Suche zuerst gefährliche Stellen: Nenner, Wurzeln, Logarithmen oder Sachbedingungen. Danach überlegst du, welche y-Werte die Funktion annehmen kann.
  
    :::beispiel
    Bei f(x)=Wurzel aus x+2 muss x+2 mindestens 0 sein. Also gilt x mindestens -2. Die Wertemenge beginnt bei 0, weil Wurzeln nicht negativ sind.
    :::
  
    :::lueckentext
    Die Definitionsmenge beschreibt erlaubte {*x-Werte|y-Werte}. Die Wertemenge beschreibt mögliche {*Funktionswerte|Nenner}.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::

Prüfungsmodus

In Klassenarbeiten erkennst du das Thema oft nicht am Namen, sondern an der Aufgabe. Frage dich zuerst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Bedingung muss am Ende stimmen?

    ## Alles auf einen Blick

    :::karten
    Nenner => darf nicht 0 sein

Wurzel => Radikand mindestens 0 Wertemenge => mögliche y-Werte :::

    :::mindmap
    Mengen bei Funktionen

Definitionsmenge Wertemenge Nenner prüfen Wurzel prüfen :::

    ## Abschluss-Check

    :::quiz
    ?1 Warum ist x=3 bei 1/(x-3) nicht erlaubt?
    + Weil Division durch 0 nicht definiert ist.
    - Weil 3 negativ ist. => Das Problem ist der Nenner 0.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::

    ## Zusammenfassung

    Definitionsmenge und Wertemenge verhindern blindes Einsetzen. Erst prüfst du erlaubte Eingaben, dann deutest du mögliche Ausgaben.