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Manche Klammern sehen fast gleich aus: einmal mit Plus, einmal mit Minus. Genau dann hilft dir die 3. binomische Formel und macht das Rechnen sehr kurz.
Nach dieser Seite kannst du Produkte wie \((x+4)(x-4)\) ausmultiplizieren und erkennst, warum dabei kein mittlerer Term übrig bleibt.
- Ich kann die 3. binomische Formel nennen.
- Ich kann erklären, warum sich die mittleren Terme aufheben.
- Ich kann Klammerprodukte wie $(3x+2)(3x-2)$ ausmultiplizieren.
- Ich kann Differenzen von Quadraten rückwärts faktorisieren.
- Ich kann die 3. Formel von der 1. und 2. Formel unterscheiden.
Woran du die 3. binomische Formel erkennst
Die 3. binomische Formel passt, wenn zwei Klammern fast gleich sind: In einer steht ein Plus, in der anderen ein Minus.
3. binomische Formel
Die 3. binomische Formel lautet:
Sie heißt auch Differenz von Quadraten, weil zwei Quadrate voneinander abgezogen werden.
Die 3. Formel unterscheidet sich von den ersten beiden: Es wird keine einzelne Klammer quadriert. Stattdessen multiplizierst du zwei Klammern, die fast gleich aussehen. Einmal steht zwischen den Bausteinen ein Plus, einmal ein Minus.
Diese Gegensätze sind der Grund, warum die Mitte verschwindet. Du bekommst einmal \(+ab\) und einmal \(-ab\). Zusammen ist das \(0\).
Die Reihenfolge der Klammern ist dabei egal. \((a+b)(a-b)\) und \((a-b)(a+b)\) liefern dasselbe Ergebnis, weil du beim Multiplizieren die Faktoren vertauschen darfst.
Gleiche Bausteine, verschiedene Vorzeichen: Das ist das Signal für die 3. binomische Formel.
Multipliziere \((x+5)(x-5)\) aus.
- Vergleiche mit \((a+b)(a-b)\).
- Hier ist \(a=x\) und \(b=5\).
- Setze ein:
$$ (x+5)(x-5)=x^2-5^2 $$
- Vereinfache:
$$ x^2-25 $$
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Warum die Mitte verschwindet
Die 3. Formel wirkt kurz, weil sich zwei Terme gegenseitig aufheben.
Leite die Formel her:
Das ist:
Die mittleren Terme \(-ab\) und \(+ab\) ergeben zusammen \(0\).
Also bleibt:
Dass die Mitte wegfällt, ist kein Zufall. Die Klammern sind so gebaut, dass einmal \(ab\) addiert und einmal \(ab\) subtrahiert wird.
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Die Formel anwenden
Auch bei zusammengesetzten Bausteinen quadrierst du immer den ganzen Baustein.
Multipliziere \((3x+2)(3x-2)\) aus.
- Bestimme \(a=3x\) und \(b=2\).
- Nutze \(a^2-b^2\):
$$ (3x)^2-2^2 $$
- Vereinfache:
$$ 9x^2-4 $$
Also:
Multipliziere \((\frac{1}{2}x+3)(\frac{1}{2}x-3)\) aus.
- Bestimme \(a=\frac{1}{2}x\) und \(b=3\).
- Nutze \(a^2-b^2\):
$$ \left(\frac{1}{2}x\right)^2-3^2 $$
- Vereinfache:
$$ \frac{1}{4}x^2-9 $$
Auch hier gibt es keinen mittleren Term. Die beiden gemischten Produkte heben sich auf.
Bei der 3. binomischen Formel gibt es im Ergebnis keinen \(x\)-Term in der Mitte.
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Rückwärts faktorisieren
Die 3. binomische Formel ist besonders nützlich, wenn du eine Differenz von Quadraten siehst.
Differenz von Quadraten
Eine Differenz von Quadraten hat die Form \(a^2-b^2\). Sie kann als \((a+b)(a-b)\) geschrieben werden.
Faktorisiere \(x^2-81\).
- Erkenne die Quadrate: \(x^2\) und \(81=9^2\).
- Nutze \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).
- Schreibe:
$$ x^2-81=(x+9)(x-9) $$
Faktorisiere \(25x^2-16\).
- \(25x^2=(5x)^2\).
- \(16=4^2\).
- Also:
$$ 25x^2-16=(5x+4)(5x-4) $$
Prüfe, ob \(x^2+16\) mit der 3. binomischen Formel faktorisiert werden kann.
- \(x^2\) ist ein Quadrat.
- \(16=4^2\) ist auch ein Quadrat.
- Aber zwischen den Quadraten steht ein Plus.
- Die 3. binomische Formel braucht eine Differenz:
$$ a^2-b^2 $$
Darum passt \(x^2+16\) in diesem Schulkontext nicht zur 3. binomischen Formel.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Prüfungsmodus
Die 3. Formel ist stark, aber sie passt nur bei einer echten Differenz von Quadraten.
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Zusammenfassung
Die 3. binomische Formel lautet \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Du erkennst sie an zwei Klammern mit gleichen Bausteinen und unterschiedlichen Vorzeichen. Beim Ausmultiplizieren heben sich die mittleren Terme auf. Rückwärts nutzt du sie, um Differenzen von Quadraten zu faktorisieren.