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Wenn in einer Klassenarbeit eine Klammer hoch 2 auftaucht, sieht das schnell größer aus, als es ist. Die 1. binomische Formel hilft dir, solche Terme schnell und ohne langes Ausmultiplizieren umzuschreiben.
Nach dieser Seite erkennst du die Formel, leitest sie selbst her und wendest sie auch bei Termen wie \((3x+2)^2\) sicher an.
- Ich kann die 1. binomische Formel nennen.
- Ich kann erklären, warum der mittlere Term $2ab$ entsteht.
- Ich kann einfache und zusammengesetzte Klammern mit der Formel ausmultiplizieren.
- Ich kann typische Fehler beim Quadrieren vermeiden.
- Ich kann entscheiden, ob wirklich die 1. binomische Formel passt.
Woran du die 1. binomische Formel erkennst
Stell dir ein Quadrat vor, dessen Seitenlänge aus zwei Teilen besteht: \(a+b\). Wenn du den Flächeninhalt berechnest, rechnest du \((a+b)^2\).
1. binomische Formel
Die 1. binomische Formel lautet:
Sie gilt, wenn eine Summe aus zwei Termen quadriert wird.
Das Wort binomisch bedeutet hier: In der Klammer stehen zwei Bausteine. Das Quadrat außen bedeutet nicht, dass du jeden Baustein einzeln quadrierst. Es bedeutet: Die ganze Klammer wird mit sich selbst multipliziert.
Genau deshalb ist die Formel so nützlich. Sie ist eine Abkürzung für das Ausmultiplizieren von \((a+b)(a+b)\). Wenn du die Struktur einmal verstanden hast, musst du in Prüfungen nicht jedes Mal vier Einzelprodukte neu hinschreiben.
Bei \((a+b)^2\) quadrierst du nicht nur \(a\) und \(b\). Der gemischte Teil \(2ab\) gehört immer dazu.
So erkennst du die Bestandteile bei \((x+5)^2\):
- Vergleiche mit \((a+b)^2\).
- Hier ist \(a=x\) und \(b=5\).
- Setze ein:
$$ (x+5)^2=x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2 $$
- Vereinfache:
$$ x^2+10x+25 $$
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Warum \(2ab\) entsteht
Viele Fehler passieren, weil der mittlere Term vergessen wird. Er entsteht nicht auswendig, sondern beim Ausmultiplizieren.
Wir leiten die Formel aus:
Jetzt multiplizierst du jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer:
Das wird zu:
Darum steht in der Mitte nicht \(ab\), sondern \(2ab\).
Die Formel lässt sich auch mit Flächen erklären: Ein Quadrat mit Seitenlänge \(a+b\) besteht aus einem Quadrat \(a^2\), einem Quadrat \(b^2\) und zwei gleichen Rechtecken mit Fläche \(ab\).
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Die Formel anwenden
Beim Anwenden hilft ein festes Vorgehen: Erst \(a\) und \(b\) markieren, dann in die Formel einsetzen, dann vereinfachen.
Multipliziere \((3x+4)^2\) aus.
- Bestimme die Bausteine: \(a=3x\), \(b=4\).
- Setze in \(a^2+2ab+b^2\) ein:
$$ (3x)^2+2\cdot 3x\cdot 4+4^2 $$
- Rechne jeden Teil aus:
$$ 9x^2+24x+16 $$
Also gilt:
Auch Vorzeichen können in einer Summe stecken. Multipliziere \((-2x+3)^2\) aus.
- Vergleiche mit \((a+b)^2\).
- Hier ist \(a=-2x\) und \(b=3\).
- Setze ein:
$$ (-2x)^2+2\cdot(-2x)\cdot3+3^2 $$
- Rechne die drei Teile aus:
$$ 4x^2-12x+9 $$
Das Ergebnis hat in der Mitte ein Minus, obwohl du die 1. binomische Formel nutzt. Der Grund ist: Der erste Baustein \(a\) ist hier negativ.
Wenn ein Baustein aus Zahl und Variable besteht, wird der ganze Baustein quadriert: \((3x)^2=9x^2\), nicht \(3x^2\).
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Rückwärts erkennen
Manchmal sollst du nicht ausmultiplizieren, sondern einen Term wieder als Klammer schreiben. Das nennt man Faktorisieren.
Faktorisieren
Faktorisieren bedeutet: Du schreibst eine Summe oder Differenz als Produkt oder Potenz. Bei der 1. binomischen Formel wird aus \(a^2+2ab+b^2\) wieder \((a+b)^2\).
Schreibe \(x^2+12x+36\) als binomische Formel.
- Der erste Teil ist \(x^2\), also ist \(a=x\).
- Der letzte Teil ist \(36=6^2\), also ist \(b=6\).
- Prüfe die Mitte: \(2\cdot x\cdot 6=12x\).
- Alles passt:
$$ x^2+12x+36=(x+6)^2 $$
Prüfe, ob \(x^2+x+\frac{1}{4}\) eine 1. binomische Formel ist.
- Der erste Teil ist \(x^2\), also ist \(a=x\).
- Der letzte Teil ist \(\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\), also ist \(b=\frac{1}{2}\).
- Prüfe die Mitte:
$$ 2\cdot x\cdot\frac{1}{2}=x $$
- Die Mitte passt. Also gilt:
$$ x^2+x+\frac{1}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 $$
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Prüfungsmodus
In Prüfungen steht selten nur „Benutze die 1. binomische Formel“. Du musst zuerst entscheiden, ob das Muster passt.
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Zusammenfassung
Die 1. binomische Formel lautet \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Du nutzt sie, wenn eine Summe quadriert wird. Der wichtigste Gedanke ist der mittlere Term: Er entsteht zweimal beim Ausmultiplizieren. Wenn du rückwärts arbeitest, suchst du die beiden Quadrate und prüfst, ob die Mitte das doppelte Produkt ist.