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Wenn eine Unbekannte im Exponenten steht, reicht normales Umstellen nicht mehr. Mit gleichen Basen oder Logarithmen kannst du die Gleichung trotzdem lösen.
- Ich kann Exponentialgleichungen von linearen Gleichungen unterscheiden.
- Ich kann einfache Gleichungen über gleiche Basen lösen.
- Ich kann den Logarithmus als Umkehrung nutzen.
- Ich kann Lösungen ungefähr einordnen.
Grundidee
Bei \(10^x=1000\) fragst du: Welcher Exponent macht aus 10 die Zahl 1000? Die Antwort ist 3.
Exponentialgleichung
Eine Exponentialgleichung enthält die Variable im Exponenten. Typisch ist die Form \(a^x=b\) mit positiver Basis \(a\).
Du suchst also einen Exponenten. Wenn du die rechte Seite als Potenz derselben Basis schreiben kannst, ist das am einfachsten. Sonst logarithmierst du.
\(4^x=64\).
\(4^x=4^3\), also \(x=3\).
Erst auf gleiche Basis prüfen, dann Logarithmus einsetzen.
Vorgehen
Bei \(a^x=b\) gilt \(x=\frac{\ln(b)}{\ln(a)}\). Das funktioniert für \(a>0\), \(a\ne1\) und \(b>0\).
\(5^x=40\).
\(x=\frac{\ln(40)}{\ln(5)}\approx2{,}29\).
Da \(5^2=25\) und \(5^3=125\), liegt das Ergebnis sinnvoll zwischen 2 und 3.
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Prüfungsmodus
Manche Aufgaben enthalten vorher Terme wie \(2\cdot3^x=18\). Isoliere zuerst die Potenz, also hier \(3^x=9\).
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Exponentialgleichungen löst du durch Potenzvergleich oder Logarithmus. Vorher isolierst du die Potenz und danach prüfst du mit bekannten Potenzen.