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Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen. Sie zeigen, wo ein Wert lokal besonders groß oder klein ist. In Anwendungen geht es dabei oft um maximale Fläche, minimale Kosten oder den höchsten Punkt einer Bewegung.
Nach dieser Seite kannst du Extremstellen mit Ableitungen finden, Kandidaten prüfen und Extrempunkte als Koordinaten angeben.
- Ich kann Hochpunkt, Tiefpunkt und Extremstelle unterscheiden.
- Ich kann notwendige Bedingung $f'(x)=0$ anwenden.
- Ich kann mit der zweiten Ableitung prüfen.
- Ich kann Extrempunkte vollständig berechnen.
- Ich kann Rand- und Sattelpunkte nicht verwechseln.
Was Extrempunkte sind
Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Graphen, an dem die Funktion in der Nähe besonders groß oder besonders klein ist.
Extrempunkt
Ein Extrempunkt ist ein Hochpunkt oder Tiefpunkt eines Funktionsgraphen. Er besteht aus x-Wert und y-Wert.
Extremstelle
Eine Extremstelle ist nur der x-Wert, an dem ein Extrempunkt liegt.
Wenn bei \(x=2\) ein Tiefpunkt mit Funktionswert \(-3\) liegt, dann ist die Extremstelle \(x=2\) und der Extrempunkt \(T(2|-3)\).
Stelle heißt x-Wert. Punkt heißt Koordinatenpaar.
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Kandidaten finden
An glatten Hoch- und Tiefpunkten ist die Tangente waagerecht. Deshalb ist die erste Ableitung dort 0.
Notwendige Bedingung
Die notwendige Bedingung für eine innere Extremstelle lautet \(f'(x)=0\). Sie liefert Kandidaten.
\(f(x)=x^2-4x+1\).
- Ableiten: \(f'(x)=2x-4\).
- Gleichung lösen: \(2x-4=0\), also \(x=2\).
- Kandidat: \(x=2\).
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Kandidaten prüfen
Die zweite Ableitung zeigt, ob der Graph dort nach oben oder unten gekrümmt ist.
Zweite-Ableitung-Test
Beim Zweite-Ableitung-Test gilt: Ist \(f''(x)>0\), liegt ein Tiefpunkt vor. Ist \(f''(x)<0\), liegt ein Hochpunkt vor.
Für \(f(x)=x^2-4x+1\) gilt \(f''(x)=2\).
Bei \(x=2\) ist \(f''(2)=2>0\), also liegt ein Tiefpunkt vor.
Jetzt berechnest du den y-Wert:
Der Tiefpunkt ist \(T(2|-3)\).
Erst Kandidat finden, dann prüfen, dann y-Wert berechnen.
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Prüfungsmodus
Nicht jede Stelle mit \(f'(x)=0\) ist automatisch ein Hoch- oder Tiefpunkt. Manchmal entsteht ein Sattelpunkt.
\(f(x)=x^3\) hat \(f'(x)=3x^2\). Bei \(x=0\) ist \(f'(0)=0\). Trotzdem gibt es keinen Hoch- oder Tiefpunkt, denn der Graph steigt vor und nach 0 weiter.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Extrempunkte findest du mit Ableitungen. Die Gleichung \(f'(x)=0\) liefert Kandidaten. Mit der zweiten Ableitung prüfst du Hoch- oder Tiefpunkt und durch Einsetzen in \(f\) bekommst du den vollständigen Punkt.