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Integrale messen Flächen. Wenn zwei Graphen eine Fläche einschließen, reicht aber nicht ein einzelner Funktionswert: Du brauchst die obere Funktion minus die untere Funktion über dem passenden Intervall.
- Ich kann Schnittpunkte als Integrationsgrenzen bestimmen.
- Ich kann obere und untere Funktion unterscheiden.
- Ich kann die Fläche zwischen zwei Graphen berechnen.
- Ich kann Vorzeichenfehler durch Beträge vermeiden.
Die Grundidee
Zwischen zwei Graphen ist die senkrechte Höhe an jeder Stelle die Differenz der Funktionswerte.
Fläche zwischen Graphen
Die Fläche zwischen zwei Graphen auf \([a,b]\) berechnest du mit \(A=\int_a^b (\text{oben}-\text{unten})\,dx\), wenn die obere Funktion im ganzen Intervall gleich bleibt.
\(f(x)=x+3\) liegt über \(g(x)=1\) auf dem Intervall \([0,2]\).
\(A=\int_0^2((x+3)-1)\,dx=\int_0^2(x+2)\,dx\).
Eine Stammfunktion ist \(\frac12x^2+2x\).
\(A=(2+4)-0=6\).
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Schnittpunkte finden
Sind keine Grenzen gegeben, bestimmst du zuerst die Schnittpunkte. Dazu setzt du die Funktionen gleich.
\(f(x)=x^2\) und \(g(x)=2x\).
Schnittpunkte: \(x^2=2x\).
\(x^2-2x=0\), also \(x(x-2)=0\).
\(x=0\) oder \(x=2\).
Auf \([0,2]\) liegt \(g\) über \(f\), zum Beispiel bei \(x=1\): \(g(1)=2\), \(f(1)=1\).
\(A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\).
Stammfunktion: \(x^2-\frac13x^3\).
\(A=4-\frac83=\frac43\).
Erst Schnittpunkte, dann Lage prüfen, dann integrieren.
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Wenn sich die Lage ändert
Wenn Graphen sich im Intervall schneiden, musst du das Integral aufteilen oder den Betrag der Differenz betrachten.
Ein negatives Integral bedeutet nicht „negative Fläche“. Es bedeutet, dass die gewählte Differenz unterhalb der x-Achse lag. Flächeninhalte sind immer nichtnegativ.
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Prüfungsmodus
Eine vollständige Lösung nennt Schnittpunkte, Lage, Integral, Stammfunktion und Ergebnis mit Flächeneinheiten.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die Fläche zwischen Graphen berechnest du systematisch: Schnittpunkte finden, Lage prüfen, Differenz bilden und integrieren. Bei Lagewechseln teilst du das Intervall auf, damit der Flächeninhalt positiv bleibt.