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Eine Funktionsgleichung ist wie eine Rechenanweisung für einen Graphen. Wenn du Punkte, Steigung oder einen Achsenabschnitt kennst, kannst du die Gleichung oft selbst aufstellen.
- Ich kann die Form $y=mx+b$ erklären.
- Ich kann die Steigung aus zwei Punkten berechnen.
- Ich kann den y-Achsenabschnitt bestimmen.
- Ich kann prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.
Lineare Funktionen lesen
Bei linearen Funktionen ist der Graph eine Gerade. Die Zahl \(m\) beschreibt die Steigung, die Zahl \(b\) den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Funktionsgleichung
Eine Funktionsgleichung beschreibt, wie aus einem x-Wert ein y-Wert berechnet wird. Bei Geraden hat sie oft die Form \(y=mx+b\).
Bei \(y=2x+1\) ist \(m=2\) und \(b=1\).
Setzt du \(x=3\) ein, bekommst du \(y=2\cdot3+1=7\).
\(m\) sagt, wie stark die Gerade steigt. \(b\) ist der Startwert bei \(x=0\).
Aus zwei Punkten aufstellen
Kennst du zwei Punkte, berechnest du zuerst die Steigung. Danach setzt du einen Punkt in \(y=mx+b\) ein und löst nach \(b\) auf.
Steigung
Die Steigung ist die Änderung in y-Richtung geteilt durch die Änderung in x-Richtung: \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
Gegeben sind \(P(2|5)\) und \(Q(6|13)\).
Jetzt \(P\) einsetzen:
Also lautet die Gleichung \(y=2x+1\).
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Graph, Tabelle und Gleichung verbinden
Aus einer Wertetabelle erkennst du eine lineare Funktion daran, dass bei gleichen x-Schritten die y-Werte immer um denselben Betrag steigen oder fallen.
Tabelle: \((0|4)\), \((1|7)\), \((2|10)\). Die y-Werte steigen jedes Mal um 3. Also \(m=3\). Weil bei \(x=0\) der y-Wert 4 ist, gilt \(b=4\). Die Gleichung ist \(y=3x+4\).
Bei einer linearen Funktion ist die Änderung gleichmäßig.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Funktionsgleichungen verbinden Punkte, Tabellen und Graphen. Bei Geraden bestimmst du meist zuerst die Steigung und danach den y-Achsenabschnitt.