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Ganzrationale Funktionen sind Polynomfunktionen. Sie begegnen dir bei Parabeln, Kurven dritten Grades und vielen Modellierungen in der Analysis.
- Ich kann ganzrationale Funktionen erkennen.
- Ich kann Grad, Leitkoeffizient und konstanten Term bestimmen.
- Ich kann das grobe Verhalten des Graphen beschreiben.
- Ich kann einfache Funktionswerte und Nullstellen prüfen.
Was ganzrational bedeutet
Eine ganzrationale Funktion besteht aus einer Summe von Potenzen von \(x\) mit nichtnegativen ganzen Exponenten. Sie ist also eine Funktion mit einem Polynom als Term.
Ganzrationale Funktion
Eine ganzrationale Funktion hat die Form \(f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0\). Der höchste Exponent \(n\) heißt Grad der Funktion.
\(f(x)=2x^3-4x^2+x-7\) ist ganzrational vom Grad 3.
\(g(x)=\frac{1}{x}+2\) ist nicht ganzrational, weil \(x\) im Nenner steht.
Ganzrational heißt: keine Variable im Nenner, keine Wurzel aus \(x\), keine negativen Exponenten.
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Graph und Verhalten
Der Grad und der Leitkoeffizient sagen viel über das Verhalten für sehr große positive oder negative \(x\) aus. Gerade Grade können links und rechts in dieselbe Richtung zeigen, ungerade Grade in verschiedene Richtungen.
\(f(x)=x^2-4\) ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
Nullstellen findest du mit \(x^2-4=0\). Also \(x^2=4\) und \(x=2\) oder \(x=-2\).
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Prüfungsmodus
Bei Kurvendiskussionen gehst du geordnet vor: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Ableitungen, Extrempunkte und Verhalten im Unendlichen.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Ganzrationale Funktionen sind Polynomfunktionen. Wenn du Grad, Leitkoeffizient und Termstruktur erkennst, kannst du Graphen und Prüfungsaufgaben viel besser ordnen.