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Gebrochen-rationale Funktionen sehen oft kompliziert aus, erzählen aber viel über Definitionslücken, Polstellen und Asymptoten. Nach dieser Seite kannst du den Funktionsterm systematisch untersuchen.
- Ich kann gebrochen-rationale Funktionen erkennen.
- Ich kann Definitionslücken bestimmen.
- Ich kann hebbare Lücken und Polstellen unterscheiden.
- Ich kann senkrechte und waagerechte Asymptoten finden.
- Ich kann typische Graphenmerkmale deuten.
Grundidee
Der Nenner ist der erste wichtige Blick. Wo der Nenner 0 wird, ist die Funktion nicht definiert. Danach entscheidest du, ob sich ein Faktor kürzen lässt oder ob eine Polstelle bleibt.
Gebrochen-rationale Funktion
Eine gebrochen-rationale Funktion hat die Form \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\), wobei \(p\) und \(q\) Polynome sind und \(q(x)\) nicht 0 sein darf.
Untersuche \(f(x)=\frac{x+2}{x-3}\) auf Definitionslücken.
- Der Nenner ist \(x-3\).
- Setze ihn 0: \(x-3=0\).
- Daraus folgt \(x=3\).
- Bei \(x=3\) ist die Funktion nicht definiert.
Die Definitionsmenge ist \(\mathbb R\setminus\{3\}\).
Nullstellen des Nenners sind verbotene x-Werte. Sie müssen immer geprüft werden.
Schritt für Schritt
Wenn Zähler und Nenner denselben Faktor haben, kann eine hebbare Lücke entstehen. Wenn nach dem Kürzen im Nenner noch der kritische Faktor bleibt, entsteht eine Polstelle.
Untersuche \(g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\).
- Faktorisiere den Zähler: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\).
- Für \(x\neq1\) darf gekürzt werden: \(g(x)=x+1\).
- Trotzdem bleibt \(x=1\) aus der ursprünglichen Funktion ausgeschlossen.
- Bei \(x=1\) liegt eine hebbare Lücke mit dem zugehörigen y-Wert \(2\) vor.
Für waagerechte Asymptoten vergleichst du die Grade von Zähler und Nenner. Sind die Grade gleich, ist der Quotient der führenden Koeffizienten die waagerechte Asymptote.
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Typische Fehler erkennen
Kürze niemals Summen blind. Aus \(\frac{x+2}{x}\) wird nicht \(2\). Kürzen darfst du nur gemeinsame Faktoren.
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Prüfungsmodus
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor: Definitionsmenge, Faktorisieren, Kürzen prüfen, Lücke oder Polstelle entscheiden, Asymptoten untersuchen.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Gebrochen-rationale Funktionen sind Brüche aus Polynomen.
- Der Nenner darf nie 0 sein.
- Gemeinsame Faktoren können hebbare Lücken erzeugen.
- Nicht hebbare Nennernullstellen führen zu Polstellen.