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Eine Hyperbel sieht anders aus als eine Gerade oder Parabel: Sie nähert sich Achsen an, berührt sie aber oft nicht. Besonders wichtig ist der Graph von \(f(x)=\frac{1}{x}\). Danach kannst du Hyperbeln erkennen, zeichnen und ihre Eigenschaften erklären.
- Ich kann eine Hyperbel am Graphen erkennen.
- Ich kann den Grundgraphen $f(x)=1/x$ beschreiben.
- Ich kann Asymptoten erklären.
- Ich kann einfache Wertetabellen für Hyperbeln erstellen.
- Ich kann typische Definitionslücken beachten.
Der Grundgraph
Die Funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\) ist für \(x=0\) nicht definiert. Ihr Graph hat zwei getrennte Äste.
Hyperbel
Eine Hyperbel ist hier der Graph einer antiproportionalen Funktion wie \(f(x)=\frac{a}{x}\). Sie besteht aus zwei Ästen und nähert sich den Achsen an.
Für \(f(x)=\frac{2}{x}\) erhältst du:
\(x=-2\) ergibt \(y=-1\), \(x=-1\) ergibt \(y=-2\), \(x=1\) ergibt \(y=2\), \(x=2\) ergibt \(y=1\).
Bei \(\frac{a}{x}\) darf \(x\) nicht 0 sein. Durch 0 teilen ist nicht erlaubt.
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Asymptoten
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich ein Graph immer weiter annähert. Bei \(f(x)=\frac{1}{x}\) sind die Achsen Asymptoten.
Asymptote
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich ein Graph annähert, ohne sie im betrachteten Verlauf zu erreichen.
Für große positive \(x\) wird \(\frac{1}{x}\) immer kleiner: \(\frac{1}{10}=0{,}1\), \(\frac{1}{100}=0{,}01\). Der Graph nähert sich der x-Achse an.
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Hyperbeln zeichnen
Zum Zeichnen brauchst du Werte auf beiden Seiten der Definitionslücke. Verbinde die Punkte nicht über \(x=0\) hinweg.
Zeichne \(f(x)=\frac{4}{x}\).
Wähle \(x=1,2,4\) und \(x=-1,-2,-4\). Dann erhältst du \(4,2,1\) und \(-4,-2,-1\). Die beiden Äste liegen im ersten und dritten Quadranten.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Eine Hyperbel wie \(f(x)=a/x\) hat eine Definitionslücke bei \(x=0\) und zwei Äste. Sie nähert sich Asymptoten an, meist den Achsen. Mit einer Wertetabelle auf beiden Seiten der Lücke kannst du den Graphen sicher zeichnen.