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In der analytischen Geometrie beschreiben Ebenen Flächen im Raum. Zwei Ebenen können sich schneiden, parallel sein oder sogar identisch sein. Wenn du das erkennst, kannst du Schnittgeraden berechnen und Gleichungssysteme deuten.
Nach dieser Seite kannst du Lagebeziehungen von Ebenen unterscheiden und eine Schnittgerade in Parameterform bestimmen.
- Ich kann die möglichen Lagebeziehungen zweier Ebenen nennen.
- Ich kann Normalenvektoren zum Erkennen nutzen.
- Ich kann ein lineares Gleichungssystem zur Schnittmenge aufstellen.
- Ich kann eine Schnittgerade berechnen.
- Ich kann parallele und identische Ebenen unterscheiden.
Welche Lagebeziehungen gibt es?
Zwei Ebenen im Raum können drei verschiedene Beziehungen haben.
Lagebeziehung von Ebenen
Die Lagebeziehung von Ebenen beschreibt, ob zwei Ebenen sich in einer Geraden schneiden, parallel verschieden sind oder identisch aufeinanderliegen.
Mögliche Fälle:
- Schneidend: Die Ebenen haben eine gemeinsame Gerade.
- Parallel verschieden: Sie haben keinen gemeinsamen Punkt.
- Identisch: Alle Punkte der einen Ebene liegen auch in der anderen.
Zwei verschiedene Ebenen schneiden sich im Raum nicht in einem einzelnen Punkt, sondern in einer Geraden.
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Normalenvektoren prüfen
In Koordinatenform ist der Normalenvektor direkt sichtbar.
Normalenvektor
Ein Normalenvektor steht senkrecht auf einer Ebene. In \(ax+by+cz=d\) ist \((a,b,c)\) ein Normalenvektor.
Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander, sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind sie keine Vielfache, schneiden sich die Ebenen.
\(E: x+2y-z=3\) hat Normalenvektor \((1,2,-1)\).
\(F: 2x+4y-2z=8\) hat Normalenvektor \((2,4,-2)\).
Der zweite Normalenvektor ist das Doppelte des ersten. Die Ebenen sind also parallel oder identisch. Da auch die rechte Seite doppelt sein müsste, aber \(2\cdot3=6\) und nicht 8 ist, sind sie parallel verschieden.
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Schnittgerade berechnen
Wenn die Normalenvektoren keine Vielfachen sind, löst du beide Ebenengleichungen gemeinsam. Eine Variable darf als Parameter bleiben.
Berechne die Schnittgerade von
Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten:
Also \(y=2\). Setze in \(x+y+z=6\) ein:
Setze \(z=t\). Dann ist \(x=4-t\). Die Schnittgerade lautet:
Bei einer Schnittgeraden bleibt ein Parameter frei. Dieser Parameter läuft entlang der Geraden.
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Prüfungsmodus
Achte auf Widersprüche und auf identische Gleichungen. Beide zeigen andere Fälle als eine Schnittgerade.
\(E: x+2y-z=3\) und \(F: 2x+4y-2z=6\) sind identisch, weil die zweite Gleichung genau das Doppelte der ersten ist.
\(E: x+2y-z=3\) und \(G: 2x+4y-2z=8\) sind parallel verschieden, weil links alles doppelt ist, rechts aber nicht.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die Lage zweier Ebenen erkennst du zuerst über ihre Normalenvektoren. Keine Vielfachen bedeuten eine Schnittgerade. Vielfache Normalenvektoren bedeuten parallel oder identisch; das unterscheidest du über die ganze Gleichung.