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In der analytischen Geometrie können eine Gerade und eine Ebene sich schneiden, parallel sein oder die Gerade kann ganz in der Ebene liegen. Diese Lagebeziehung findest du nicht durch Raten, sondern durch Einsetzen. Danach kannst du den Schnittpunkt berechnen und Sonderfälle erkennen.
- Ich kann mögliche Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene nennen.
- Ich kann eine Gerade in eine Ebenengleichung einsetzen.
- Ich kann einen Schnittpunkt berechnen.
- Ich kann parallel und in der Ebene liegend unterscheiden.
- Ich kann Ergebnisse mit einer Probe kontrollieren.
Mögliche Lagebeziehungen
Eine Gerade und eine Ebene haben drei typische Möglichkeiten: ein Schnittpunkt, kein Schnittpunkt oder unendlich viele gemeinsame Punkte.
Lagebeziehung Gerade Ebene
Eine Gerade schneidet eine Ebene in einem Punkt, ist echt parallel zur Ebene oder liegt vollständig in der Ebene.
Ein Schnittpunkt bedeutet genau eine Lösung. Echt parallel bedeutet keine Lösung. Gerade in Ebene bedeutet unendlich viele Lösungen.
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Schnittpunkt berechnen
Setze die Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung ein. Dann löst du nach dem Parameter.
Gegeben ist \(g: \vec{x}=(1,2,0)+t(2,-1,1)\) und \(E: x+y+z=5\).
- Punkte der Geraden haben die Koordinaten \((1+2t, 2-t, t)\).
- In die Ebene einsetzen: \((1+2t)+(2-t)+t=5\).
- Zusammenfassen: \(3+2t=5\).
- Also ist \(t=1\).
- Einsetzen in die Gerade: \((1+2, 2-1, 1)=(3,1,1)\).
Der Schnittpunkt ist \(S(3|1|1)\).
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Parallel oder in der Ebene
Wenn beim Einsetzen eine falsche Aussage entsteht, gibt es keinen Schnittpunkt. Wenn eine immer wahre Aussage entsteht, liegt die Gerade in der Ebene.
Beim Einsetzen entsteht \(4=7\). Das kann nie stimmen. Also ist die Gerade echt parallel zur Ebene.
Entsteht dagegen \(5=5\), ist die Gleichung für jeden Parameter erfüllt. Dann liegt die Gerade vollständig in der Ebene.
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Prüfungsmodus
Verwechsle Richtung und Lage nicht. Ein Richtungsvektor parallel zur Ebene zeigt nur, dass die Gerade entweder parallel ist oder in der Ebene liegt. Du musst noch einen Punkt prüfen.
Wenn der Stützpunkt der Geraden die Ebenengleichung erfüllt und der Richtungsvektor parallel zur Ebene ist, liegt die ganze Gerade in der Ebene. Erfüllt der Stützpunkt die Ebene nicht, ist die Gerade echt parallel.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Für die Lagebeziehung Gerade-Ebene setzt du die Gerade in die Ebene ein. Eine eindeutige Lösung liefert einen Schnittpunkt, eine falsche Aussage bedeutet echt parallel, und eine immer wahre Aussage bedeutet, dass die Gerade in der Ebene liegt.