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Vektoren können wirklich neue Richtungen liefern oder nur alte Richtungen wiederholen. Lineare Unabhängigkeit beschreibt genau diesen Unterschied.
- Ich kann das Thema Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit in eigenen Worten erklären.
- Ich kann typische Aufgaben zu diesem Thema Schritt für Schritt lösen.
- Ich kann wichtige Begriffe erkennen und voneinander unterscheiden.
- Ich kann meine Rechnung oder Entscheidung mit einer Probe kontrollieren.
Worum es geht
Vektoren sind linear unabhängig, wenn keiner von ihnen aus den anderen zusammengesetzt werden kann. Rechnerisch prüfst du, ob die Gleichung \(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec0\) nur die Lösung \(a=b=c=0\) hat.
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
Vektoren heißen linear unabhängig, wenn die Nullkombination nur mit allen Koeffizienten 0 möglich ist.
Nur die triviale Lösung bedeutet unabhängig; jede weitere Lösung bedeutet abhängig.
Schritt für Schritt
Setze eine Linearkombination gleich dem Nullvektor. Daraus entsteht ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten. Löse es und achte darauf, ob freie Parameter übrig bleiben.
Prüfe \(\vec u=(1,0)\) und \(\vec v=(0,1)\).
\(a(1,0)+b(0,1)=(0,0)\) ergibt \((a,b)=(0,0)\).
Also müssen \(a=0\) und \(b=0\) gelten. Die Vektoren sind linear unabhängig.
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Typische Fehler vermeiden
Nicht die Länge entscheidet, sondern ob eine Kombination möglich ist. Zwei lange Vektoren können abhängig sein, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.
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Prüfungsmodus
In der Ebene sind drei Vektoren immer abhängig. Im Raum können höchstens drei Vektoren linear unabhängig sein.
Prüfe \((2,4)\) und \((1,2)\).
Da \((2,4)=2\cdot(1,2)\) gilt, liegt keine neue Richtung vor. Die Vektoren sind linear abhängig.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Lineare Unabhängigkeit sagt dir, ob Vektoren wirklich neue Richtungen beitragen. Rechnerisch entscheidet die Nullkombination.