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Die Mitternachtsformel heißt so, weil du sie irgendwann fast im Schlaf können sollst. Sie ist ein Werkzeug für quadratische Gleichungen, besonders wenn einfaches Faktorisieren nicht klappt.
Hier lernst du, wann die Formel passt, wie du sie sicher einsetzt und wie du mit der Diskriminante die Anzahl der Lösungen erkennst.
- Ich kann die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ herstellen.
- Ich kann $a$, $b$ und $c$ richtig ablesen.
- Ich kann die Mitternachtsformel anwenden.
- Ich kann an der Diskriminante die Anzahl reeller Lösungen erkennen.
- Ich kann Lösungen durch Einsetzen prüfen.
Wann brauchst du die Mitternachtsformel?
Die Mitternachtsformel löst quadratische Gleichungen in allgemeiner Form. Sie ist besonders praktisch, wenn vor \(x^2\) nicht \(1\) steht.
Allgemeine Form
Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist \(ax^2+bx+c=0\) mit \(a\ne0\).
Mitternachtsformel
Für \(ax^2+bx+c=0\) gilt:
\(2x^2-5x+2=0\) ist in allgemeiner Form.
Du liest ab:
\(a=2\), \(b=-5\), \(c=2\).
Jetzt kannst du direkt die Mitternachtsformel verwenden.
Die Formel passt erst, wenn rechts wirklich \(0\) steht.
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a, b und c richtig ablesen
Viele Fehler entstehen beim Ablesen der Vorzeichen. Das Minuszeichen gehört zum Koeffizienten dazu.
Koeffizient
Ein Koeffizient ist die Zahl, die vor einer Variable steht. In \(ax^2+bx+c\) sind \(a\) und \(b\) Koeffizienten, \(c\) ist die konstante Zahl.
Lies ab: \(4x^2-3x-10=0\).
\(a=4\)
\(b=-3\)
\(c=-10\)
Das Minus vor \(3x\) und vor \(10\) gehört mit dazu.
Lies ab: \(x^2+6x+8=0\).
Vor \(x^2\) steht unsichtbar eine \(1\).
\(a=1\), \(b=6\), \(c=8\).
Schreibe \(a\), \(b\) und \(c\) vor dem Einsetzen untereinander auf. Das verhindert viele Vorzeichenfehler.
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Formel Schritt für Schritt anwenden
Setze langsam ein und rechne den Wurzelterm zuerst aus. Dieser Term heißt Diskriminante.
Diskriminante
Die Diskriminante ist \(D=b^2-4ac\). Sie steht unter der Wurzel in der Mitternachtsformel.
Löse \(2x^2-5x+2=0\).
Ablesen:
\(a=2\), \(b=-5\), \(c=2\).
Diskriminante:
\(D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9\).
Einsetzen:
\(x_1=\frac{8}{4}=2\)
\(x_2=\frac{2}{4}=\frac12\)
Probe für \(x=2\):
\(2\cdot2^2-5\cdot2+2=8-10+2=0\).
Probe für \(x=\frac12\):
\(2\cdot\left(\frac12\right)^2-5\cdot\frac12+2=\frac12-\frac52+2=0\).
Setze \(-b\) sorgfältig ein. Wenn \(b\) negativ ist, wird \(-b\) positiv.
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Anzahl der Lösungen
Die Diskriminante zeigt dir, wie viele reelle Lösungen es gibt.
\(D>0\): Zwei Lösungen.
Beispiel: \(x^2-5x+6=0\)
\(D=25-24=1\)
Es gibt zwei Lösungen.
\(D=0\): Eine doppelte Lösung.
Beispiel: \(x^2-4x+4=0\)
\(D=16-16=0\)
\(x=\frac{4}{2}=2\).
\(D<0\): Keine reelle Lösung.
Beispiel: \(x^2+2x+5=0\)
\(D=4-20=-16\)
In den reellen Zahlen gibt es keine Lösung.
\(D>0\): zwei Lösungen. \(D=0\): eine Lösung. \(D<0\): keine reelle Lösung.
Prüfungsmodus: Umformen vor der Formel
Die Formel kann nur richtig arbeiten, wenn die Gleichung vorher richtig sortiert ist.
Löse \(3x^2+4x=7\).
Erst alles auf eine Seite:
\(3x^2+4x-7=0\).
Jetzt ist \(a=3\), \(b=4\), \(c=-7\).
\(D=4^2-4\cdot3\cdot(-7)=16+84=100\).
\(x_1=1\), \(x_2=-\frac73\).
Wenn du beim Umformen eine Zahl auf die andere Seite bringst, ändert sich ihr Vorzeichen.
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Mitternachtsformel löst quadratische Gleichungen in der Form \(ax^2+bx+c=0\). Lies \(a\), \(b\) und \(c\) mit ihren Vorzeichen ab und setze sorgfältig ein.
Die Diskriminante \(D=b^2-4ac\) zeigt dir vorher, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt.