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Der natürliche Logarithmus hilft dir, Gleichungen mit der Eulerschen Zahl zu lösen und Wachstumsprozesse zu verstehen. Nach dieser Seite kannst du \(\ln\) als Umkehrfunktion von \(e^x\) nutzen.
- Ich kann den natürlichen Logarithmus erklären.
- Ich kann $\ln$ und $e^x$ als Umkehrfunktionen nutzen.
- Ich kann einfache ln-Regeln anwenden.
- Ich kann Exponentialgleichungen lösen.
- Ich kann Definitionsbedingungen beachten.
Grundidee
\(\ln\) macht eine \(e\)-Potenz rückgängig. Deshalb gilt \(\ln(e^x)=x\) und \(e^{\ln(x)}=x\) für \(x>0\).
Natürlicher Logarithmus
Der natürliche Logarithmus \(\ln(x)\) ist der Logarithmus zur Basis \(e\). Er beantwortet die Frage: Mit welcher Zahl muss \(e\) potenziert werden, damit \(x\) entsteht?
Löse \(e^x=5\).
- Wende auf beiden Seiten \(\ln\) an: \(\ln(e^x)=\ln(5)\).
- Links bleibt \(x\).
- Also \(x=\ln(5)\).
- Näherungsweise ist \(x\approx1{,}609\).
\(\ln(x)\) ist nur für positive \(x\) definiert. Du darfst also nicht den Logarithmus von 0 oder negativen Zahlen bilden.
Schritt für Schritt
Die wichtigsten Regeln sind \(\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)\), \(\ln(\frac{a}{b})=\ln(a)-\ln(b)\) und \(\ln(a^r)=r\ln(a)\), jeweils für positive Basen.
Löse \(3e^{2x}=12\).
- Teile durch 3: \(e^{2x}=4\).
- Wende \(\ln\) an: \(2x=\ln(4)\).
- Teile durch 2: \(x=\frac{\ln(4)}{2}\).
- Das ist auch \(x=\ln(2)\), weil \(\ln(4)=\ln(2^2)=2\ln(2)\).
In Wachstumsmodellen taucht \(e\) auf, weil viele Prozesse proportional zu ihrer aktuellen Größe wachsen oder abnehmen.
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Typische Fehler erkennen
Ein häufiger Fehler ist \(\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)\). Diese Regel gibt es nicht. Logarithmusregeln gelten für Produkte, Quotienten und Potenzen.
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Prüfungsmodus
Bei Gleichungen mit \(e\) isolierst du zuerst die Exponentialpotenz. Logarithmiere nicht zu früh, sonst entstehen unnötig komplizierte Ausdrücke.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis \(e\).
- \(\ln\) und \(e^x\) machen einander rückgängig.
- Logarithmusregeln gelten für Produkte, Quotienten und Potenzen.
- Das Argument von \(\ln\) muss positiv sein.