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Negative Exponenten sehen ungewohnt aus, sind aber nur eine andere Schreibweise für Kehrwerte. Nach dieser Seite kannst du Potenzen mit negativen Exponenten in Brüche umwandeln und sicher vereinfachen.
- Ich kann negative Exponenten erklären.
- Ich kann $a^{-n}$ als Kehrwert schreiben.
- Ich kann Potenzgesetze anwenden.
- Ich kann zwischen negativem Exponenten und negativer Zahl unterscheiden.
- Ich kann Ergebnisse ohne negative Exponenten angeben.
Grundidee
Potenzen mit gleicher Basis folgen einem Muster. Wenn du bei \(2^3,2^2,2^1,2^0\) jeweils durch 2 gehst, ist der nächste Schritt \(2^{-1}=\frac{1}{2}\).
Negativer Exponent
Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert: Für \(a\neq0\) gilt \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Die Basis darf dabei nicht 0 sein.
Schreibe \(3^{-2}\) als Bruch.
- Negativer Exponent bedeutet Kehrwert.
- \(3^{-2}=\frac{1}{3^2}\).
- \(3^2=9\).
Also \(3^{-2}=\frac{1}{9}\).
Das Minus im Exponenten macht nicht automatisch das Ergebnis negativ. Es macht einen Kehrwert.
Schritt für Schritt
Bei Brüchen kann der Faktor die Seite wechseln: \(\frac{a^{-2}}{b^{-3}}=\frac{b^3}{a^2}\), solange \(a\) und \(b\) nicht 0 sind.
Vereinfache \(\frac{2x^{-3}}{y^{-2}}\).
- \(x^{-3}\) wandert als \(x^3\) in den Nenner.
- \(y^{-2}\) steht im Nenner und wandert als \(y^2\) in den Zähler.
- Ergebnis: \(\frac{2y^2}{x^3}\).
So enthält der Term keine negativen Exponenten mehr.
In der wissenschaftlichen Schreibweise beschreiben negative Zehnerpotenzen kleine Zahlen: \(10^{-3}=0{,}001\).
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Typische Fehler erkennen
Verwechsle \(-2^4\) und \(2^{-4}\) nicht. \(-2^4\) bedeutet meist \(-(2^4)=-16\), aber \(2^{-4}=\frac{1}{16}\).
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Prüfungsmodus
Wenn die Aufgabe „ohne negative Exponenten“ verlangt, ist ein Bruch oft die sauberste Endform. Prüfe, dass keine Hochzahl mit Minus übrig ist.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Negative Exponenten bedeuten Kehrwerte.
- \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) für \(a\neq0\).
- Beim Vereinfachen können Faktoren die Bruchseite wechseln.
- Ein negatives Exponentenzeichen ist nicht dasselbe wie ein negatives Ergebnis.