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Manche Funktionsgraphen reißen an einer Stelle auf und laufen dort steil nach oben oder unten. Dann schaust du auf Polstellen und Definitionslücken.
- Ich kann das Thema Polstelle und Definitionslücke in eigenen Worten erklären.
- Ich kann typische Aufgaben zu diesem Thema Schritt für Schritt lösen.
- Ich kann wichtige Begriffe erkennen und voneinander unterscheiden.
- Ich kann meine Rechnung oder Entscheidung mit einer Probe kontrollieren.
Worum es geht
Bei gebrochen-rationalen Funktionen entstehen kritische Stellen dort, wo der Nenner 0 wird. Bleibt nach dem Kürzen ein Nennerfaktor übrig, liegt eine Polstelle vor. Kürzt sich der Faktor weg, bleibt oft eine hebbare Definitionslücke.
Polstelle und Definitionslücke
Eine Polstelle ist eine Definitionslücke, an der Funktionswerte betragsmäßig unbegrenzt wachsen.
Nenner 0 finden, kürzen prüfen, Verhalten entscheiden.
Schritt für Schritt
Faktorisere Zähler und Nenner. Bestimme die Nullstellen des Nenners. Kürze gemeinsame Faktoren nur zur Untersuchung; die ursprüngliche Stelle bleibt aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen.
\(f(x)=\frac{x+1}{x-2}\).
Der Nenner wird bei \(x=2\) null. Der Zähler ist dort 3 und kürzt sich nicht weg. Also hat \(f\) bei \(x=2\) eine Polstelle.
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Typische Fehler vermeiden
Eine gekürzte Stelle darfst du nicht einfach wieder in den Definitionsbereich aufnehmen. Sie kann hebbar sein, bleibt aber in der ursprünglichen Funktion ausgeschlossen.
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Prüfungsmodus
Unterscheide in deiner Antwort zwischen Definitionsbereich, Polstelle und hebbarer Lücke. Genau diese Begriffe bringen oft Punkte.
\(g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\).
Faktorisieren: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Der Faktor \(x-1\) kürzt sich weg. Bei \(x=1\) liegt keine Polstelle, sondern eine hebbare Definitionslücke.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Bei Polstellen geht es nicht nur um Nenner gleich null. Erst die Kürzprüfung zeigt, ob der Graph wirklich gegen unendlich läuft oder ob eine hebbare Lücke vorliegt.