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Bei Steckbriefaufgaben bekommst du Eigenschaften eines Graphen und sollst daraus die Funktionsgleichung finden. Du rekonstruierst die Funktion wie aus Hinweisen in einem Steckbrief.
Hier lernst du, wie du Bedingungen übersetzt, ein Gleichungssystem aufstellst und die gefundene Funktion prüfst.
- Ich kann Steckbriefbedingungen in Gleichungen übersetzen.
- Ich kann eine passende Funktionsform wählen.
- Ich kann Bedingungen mit Funktionswerten und Ableitungen nutzen.
- Ich kann ein lineares Gleichungssystem aufstellen.
- Ich kann die rekonstruierte Funktion prüfen.
Was ist eine Steckbriefaufgabe?
Eine Steckbriefaufgabe beschreibt eine Funktion durch Eigenschaften. Du suchst die unbekannten Koeffizienten.
Steckbriefaufgabe
Eine Steckbriefaufgabe ist eine Aufgabe, bei der aus Bedingungen an eine Funktion eine passende Funktionsgleichung bestimmt wird.
Gesucht ist eine lineare Funktion \(f(x)=mx+b\).
Sie geht durch \(P(1|3)\) und \(Q(3|7)\).
Diese beiden Punkte liefern zwei Bedingungen, mit denen du \(m\) und \(b\) findest.
So viele unbekannte Koeffizienten, so viele unabhängige Bedingungen brauchst du mindestens.
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Bedingungen übersetzen
Jede Information im Text muss in eine mathematische Gleichung verwandelt werden.
Bedingung
Eine Bedingung ist eine Aussage, die die gesuchte Funktion erfüllen muss, zum Beispiel ein Punkt, eine Steigung oder ein Extrempunkt.
"Der Graph geht durch \(P(2|5)\)" bedeutet:
\(f(2)=5\).
"Der Graph hat an der Stelle \(x=1\) die Steigung \(4\)" bedeutet:
\(f'(1)=4\).
"Bei \(x=3\) liegt ein Hochpunkt" bedeutet mindestens:
\(f'(3)=0\).
Wenn auch der y-Wert gegeben ist, kommt zusätzlich \(f(3)=y\) dazu.
Punkt bedeutet Funktionswert. Steigung oder Extremstelle bedeutet Ableitung.
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Funktionsform wählen
Oft ist die Art der Funktion vorgegeben, zum Beispiel ganzrational dritten Grades.
Ganzrationale Funktion
Eine ganzrationale Funktion ist eine Polynomfunktion wie \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\).
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die Form:
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\).
Unbekannt sind \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\).
Du brauchst also vier unabhängige Bedingungen.
Die Ableitung ist:
\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).
Damit übersetzt du Steigungsbedingungen.
Schreibe zuerst die allgemeine Form und die nötigen Ableitungen auf.
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Beispiel vollständig lösen
Wir rekonstruieren eine quadratische Funktion. Das zeigt den ganzen Ablauf übersichtlich.
Gesucht ist \(f(x)=ax^2+bx+c\).
Der Graph geht durch \(P(0|1)\), hat bei \(x=1\) eine waagerechte Tangente und geht durch \(Q(2|1)\).
Bedingungen:
\(f(0)=1\) ergibt \(c=1\).
\(f'(x)=2ax+b\).
\(f'(1)=0\) ergibt \(2a+b=0\).
\(f(2)=1\) ergibt \(4a+2b+c=1\).
Mit \(c=1\) wird daraus \(4a+2b=0\).
Aus \(2a+b=0\) folgt \(b=-2a\).
Einsetzen in \(4a+2b=0\):
\(4a+2(-2a)=0\), also \(0=0\).
Die Bedingungen reichen nicht für eine eindeutige Parabel. Es gibt unendlich viele passende Parabeln mit Scheitel bei \(x=1\) und gleichem y-Wert an \(0\) und \(2\).
Dieses Beispiel zeigt eine wichtige Prüfungsidee: Nicht jedes Gleichungssystem liefert eine eindeutige Funktion. Bedingungen können voneinander abhängig sein.
Eindeutige Variante: Zusätzlich sei \(f(1)=0\).
\(f(1)=0\) ergibt \(a+b+c=0\).
Mit \(c=1\) und \(b=-2a\):
\(a-2a+1=0\)
\(-a+1=0\)
\(a=1\), \(b=-2\), \(c=1\).
Also \(f(x)=x^2-2x+1\).
Prüfe, ob Bedingungen wirklich neue Informationen liefern.
Prüfungsmodus: Typische Hinweise
Steckbriefaufgaben verwenden wiederkehrende Formulierungen.
"Nullstelle bei \(x=4\)" bedeutet \(f(4)=0\).
"Wendepunkt bei \(x=2\)" bedeutet mindestens \(f''(2)=0\).
"Tangente ist parallel zur Geraden \(y=3x+1\)" bedeutet Steigung \(3\), also \(f'(x_0)=3\).
Unterstreiche im Text jeden Hinweis und schreibe rechts daneben die passende Gleichung.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Bei Steckbriefaufgaben übersetzt du Eigenschaften eines Graphen in Gleichungen. Punkte liefern Funktionswerte, Steigungen und Extremstellen liefern Ableitungsbedingungen.
Der sichere Weg ist: Funktionsform aufschreiben, Ableitungen bilden, Bedingungen übersetzen, Gleichungssystem lösen und die gefundene Funktion prüfen.