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Zwei Geraden können sich schneiden, und der Winkel zwischen ihnen sagt, wie stark sie gegeneinander geneigt sind. Mit Steigungen oder Vektoren kannst du ihn berechnen.
- Ich kann den Schnittwinkel als kleineren Winkel zwischen Geraden deuten.
- Ich kann Schnittwinkel über Steigungen berechnen.
- Ich kann Vektorformeln für Geraden im Raum nutzen.
- Ich kann typische Fehler erkennen und mein Ergebnis prüfen.
Grundidee
Der Schnittwinkel zweier Geraden ist meist der kleinere Winkel zwischen ihnen. Er liegt zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\).
Schnittwinkel
Der Schnittwinkel ist der Winkel, unter dem zwei Geraden einander schneiden. Bei parallelen Geraden ist er \(0^\circ\), bei senkrechten Geraden \(90^\circ\).
Die Geraden \(y=x\) und \(y=-x\) schneiden sich rechtwinklig, also beträgt der Schnittwinkel \(90^\circ\).
Gesucht ist normalerweise der spitze oder rechte Winkel, nicht der stumpfe Ergänzungswinkel.
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Vorgehen Schritt für Schritt
Bei Geraden \(y=m_1x+b_1\) und \(y=m_2x+b_2\) nutzt du die Steigungen. Die Formel lautet \(\tan(\alpha)=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|\), solange die Geraden nicht senkrecht sind.
Für \(m_1=0\) und \(m_2=1\) gilt \(\tan(\alpha)=|1-0|/(1+0)=1\). Also ist \(\alpha=45^\circ\).
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Typische Fehler und Prüfungsmodus
In der analytischen Geometrie nutzt du Richtungsvektoren und das Skalarprodukt. Danach nimmst du bei Bedarf den kleineren Winkel.
Für Vektoren gilt \(\cos(\alpha)=\frac{|u\cdot v|}{|u|\cdot|v|}\). Der Betrag sorgt für den kleineren Winkel.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Der Schnittwinkel beschreibt die Neigung zweier Geraden zueinander. In der Ebene reichen oft Steigungen, im Raum arbeitest du mit Richtungsvektoren und Skalarprodukt.