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Steigung beschreibt, wie stark etwas ansteigt oder fällt: eine Straße, eine Rampe oder eine Gerade im Koordinatensystem. In Mathe zeigt die Steigung, wie sich \(y\) verändert, wenn \(x\) um 1 größer wird.
Nach dieser Seite kannst du Steigung aus einem Graphen, aus zwei Punkten und aus einer Geradengleichung bestimmen.
- Ich kann Steigung als Änderung von y pro Änderung von x erklären.
- Ich kann positive, negative und null Steigung erkennen.
- Ich kann die Steigungsformel mit zwei Punkten anwenden.
- Ich kann Steigung in $y=mx+b$ ablesen.
- Ich kann Ergebnisse mit einer Skizze prüfen.
Was Steigung bedeutet
Die Steigung sagt, wie steil eine Gerade ist und in welche Richtung sie läuft.
Steigung
Die Steigung \(m\) einer Geraden ist das Verhältnis aus Änderung in y-Richtung und Änderung in x-Richtung: \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
Wenn \(m>0\) ist, steigt die Gerade nach rechts. Wenn \(m<0\) ist, fällt sie nach rechts. Bei \(m=0\) ist sie waagerecht.
Eine Gerade geht pro 1 Schritt nach rechts 3 Schritte nach oben. Dann ist die Steigung \(m=3\).
Steigung heißt: hoch oder runter geteilt durch nach rechts.
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Steigung aus zwei Punkten
Mit zwei Punkten kannst du die Steigung berechnen.
Steigungsformel
Für zwei Punkte \(P_1(x_1|y_1)\) und \(P_2(x_2|y_2)\) gilt: \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
Berechne die Steigung durch \(A(2|3)\) und \(B(6|11)\).
Die Gerade steigt pro 1 nach rechts um 2 nach oben.
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Steigung aus der Gleichung
In der Form \(y=mx+b\) kannst du die Steigung direkt ablesen.
Geradengleichung in Normalform
Die Form \(y=mx+b\) beschreibt eine Gerade. \(m\) ist die Steigung und \(b\) ist der y-Achsenabschnitt.
Bei \(y=-3x+5\) ist die Steigung \(m=-3\). Die Gerade fällt also nach rechts.
Der Faktor vor \(x\) ist die Steigung. Steht kein Faktor sichtbar da, ist er 1 oder -1.
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Prüfungsmodus
Prüfe, ob deine Steigung zur Richtung der Geraden passt. Ein positives Ergebnis passt nicht zu einer fallenden Geraden.
Punkte \(C(-1|4)\) und \(D(3|-4)\):
Die Steigung ist negativ. Das passt, weil der y-Wert kleiner wird, wenn x größer wird.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Steigung beschreibt die Änderung von \(y\) im Verhältnis zur Änderung von \(x\). Du berechnest sie mit zwei Punkten oder liest sie in \(y=mx+b\) direkt als Faktor vor \(x\) ab. Richtung und Vorzeichen müssen zusammenpassen.