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Mit dem Strahlensatz kannst du Längen bestimmen, ohne alles direkt zu messen. Das ist nützlich bei Schatten, Karten, Modellen und vielen Geometrieaufgaben.
Was du nach dieser Seite kannst
- Ich kann ähnliche Dreiecke in einer Strahlensatzfigur erkennen.
- Ich kann passende Strecken einander zuordnen.
- Ich kann den ersten und zweiten Strahlensatz anwenden.
- Ich kann eine fehlende Länge mit einer Verhältnisgleichung berechnen.
- Ich kann typische Vertauschungsfehler vermeiden.
Die Idee hinter dem Strahlensatz
Wenn zwei Strahlen von einem Punkt ausgehen und von parallelen Geraden geschnitten werden, entstehen ähnliche Dreiecke. Ähnlich bedeutet: gleiche Form, andere Größe.
Strahlensatzfigur
Eine Strahlensatzfigur hat einen Scheitelpunkt, zwei Strahlen und mindestens zwei zueinander parallele Verbindungsgeraden. Entsprechende Strecken stehen im gleichen Verhältnis.
Auf einem Strahl gilt \(SA = 3\) cm und \(SB = 6\) cm. Auf dem zweiten Strahl gilt \(SA' = 4\) cm und gesucht ist \(SB'\).
Da die Querstrecken parallel sind, gilt \(\frac{SA}{SB}=\frac{SA'}{SB'}\).
\(\frac{3}{6}=\frac{4}{SB'}\).
Also ist \(SB'=8\) cm.
Ordne immer klein zu klein und groß zu groß. Die Strecken müssen zur gleichen Figurposition gehören.
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Fehlende Strecken berechnen
Zeichne zuerst die Figur nach oder markiere passende Strecken farblich. Danach stellst du eine Verhältnisgleichung auf und löst sie mit Kreuzmultiplikation.
Ein Baum wirft einen Schatten von \(9\) m. Ein \(1{,}6\) m großer Stab wirft gleichzeitig einen Schatten von \(2{,}4\) m.
Gleicher Sonnenwinkel bedeutet ähnliche Dreiecke: \(\frac{x}{9}=\frac{1{,}6}{2{,}4}\).
\(x=9 \cdot \frac{1{,}6}{2{,}4}=6\).
Der Baum ist \(6\) m hoch.
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Prüfungsmodus
Prüfungsaufgaben verstecken den Fehler oft in der Zuordnung. Schreibe die Verhältnisgleichung erst mit Streckennamen auf und setze Zahlen danach ein.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Der Strahlensatz ist Verhältnisrechnung in einer geometrischen Figur. Sicher wirst du, wenn du Parallelität prüfst, passende Strecken sauber zuordnest und erst dann rechnest.