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Manche Gleichungen sehen schwer aus, enthalten aber wiederholt denselben komplizierten Ausdruck. Durch Substitution ersetzt du ihn vorübergehend durch eine einfachere Variable.
- Ich kann eine geeignete Substitution erkennen.
- Ich kann eine Gleichung nach der Ersatzvariable lösen.
- Ich kann resubstituieren.
- Ich kann am Ende alle Lösungen prüfen.
Grundidee
Substitution ist wie ein Platzhalter: Aus einem unübersichtlichen Ausdruck wird kurz ein einfaches u.
Substitution
Bei der Substitution ersetzt du einen Term durch eine neue Variable, löst die vereinfachte Gleichung und setzt danach zurück. Das Zurücksetzen heißt Resubstitution.
Typisch ist eine Gleichung, die wie eine quadratische Gleichung aussieht, aber zum Beispiel \(x^2\) enthält. Dann setzt du \(u=x^2\).
Löse \(x^4-5x^2+4=0\).
Setze \(u=x^2\). Dann wird \(u^2-5u+4=0\). Faktorisieren: \((u-1)(u-4)=0\), also \(u=1\) oder \(u=4\). Zurück: \(x^2=1\) ergibt \(x=\pm1\), \(x^2=4\) ergibt \(x=\pm2\).
Substitution ist erst fertig, wenn du zur ursprünglichen Variable zurückgekehrt bist.
Vorgehen
Achte auf Muster: ein Ausdruck und sein Quadrat, Wurzeln, Potenzen oder trigonometrische Terme. Nach dem Lösen der Ersatzgleichung musst du unzulässige Lösungen aussortieren.
Löse \((x+1)^2-7(x+1)+10=0\).
Setze \(u=x+1\). Dann \(u^2-7u+10=0=(u-5)(u-2)\). Also \(u=5\) oder \(u=2\). Zurück: \(x+1=5\) ergibt \(x=4\), und \(x+1=2\) ergibt \(x=1\).
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Prüfungsmodus
Vergiss keine Lösungen beim Zurücksetzen. Prüfe besonders bei Quadraten, ob positive und negative Werte möglich sind.
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Substitution macht komplizierte Gleichungen vorübergehend einfacher. Entscheidend sind ein passender Platzhalter, vollständige Resubstitution und eine Probe.