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Tangenten zeigen, wie steil ein Graph in einem bestimmten Punkt ist. Nach dieser Seite kannst du Tangenten- und Normalengleichungen mithilfe der Ableitung aufstellen.
- Ich kann Tangente und Normale unterscheiden.
- Ich kann die Steigung mit der Ableitung bestimmen.
- Ich kann eine Tangentengleichung aufstellen.
- Ich kann die Normalensteigung berechnen.
- Ich kann eine Punktprobe durchführen.
Grundidee
Die Ableitung liefert die momentane Steigung. Mit Punkt und Steigung kannst du eine Gerade aufstellen.
Tangente
Eine Tangente berührt einen Graphen in einem Punkt und hat dort dieselbe Steigung wie der Graph. Die Normale steht in diesem Punkt senkrecht auf der Tangente.
Bestimme die Tangente an \(f(x)=x^2\) bei \(x_0=3\).
- Punkt: \(f(3)=9\), also \(P(3|9)\).
- Ableitung: \(f'(x)=2x\).
- Steigung: \(f'(3)=6\).
- Gerade: \(y=6(x-3)+9\).
- Ausmultipliziert: \(y=6x-9\).
Tangente: gleiche Steigung wie der Graph. Normale: negative Kehrwert-Steigung, wenn die Tangentensteigung nicht 0 ist.
Schritt für Schritt
Für die Normale nimmst du denselben Berührpunkt. Aus Tangentensteigung \(m\) wird Normalensteigung \(m_N=-\frac{1}{m}\).
Zur Tangente mit Steigung 6 gehört die Normale mit Steigung \(-\frac{1}{6}\).
- Punkt bleibt \(P(3|9)\).
- Normalengleichung: \(y=-\frac{1}{6}(x-3)+9\).
- Punktprobe: Für \(x=3\) ergibt sich \(y=9\).
Die Normale geht durch denselben Punkt.
Wenn die Tangente waagerecht ist, hat sie Steigung 0. Die Normale ist dann senkrecht und wird nicht als normale Funktionsgleichung \(y=mx+b\) geschrieben, sondern als \(x=x_0\).
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Typische Fehler erkennen
Verwechsle nicht den x-Wert mit dem y-Wert des Berührpunkts. Du brauchst immer \(P(x_0|f(x_0))\).
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Prüfungsmodus
Schreibe die Tangente zuerst in Punkt-Steigungs-Form. Erst danach ausmultiplizieren. So bleibt sichtbar, durch welchen Punkt die Gerade gehen muss.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Die Tangente nutzt die Ableitung als Steigung.
- Der Berührpunkt ist \(P(x_0|f(x_0))\).
- Die Normale hat die negative Kehrwert-Steigung.
- Eine Punktprobe kontrolliert beide Geraden.