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Vektoren beschreiben Verschiebungen: erst 3 nach rechts und 2 nach oben, dann noch eine Bewegung dazu. Danach kannst du Vektoren rechnerisch und grafisch addieren oder subtrahieren.
- Ich kann Vektoren komponentenweise addieren.
- Ich kann Vektoren komponentenweise subtrahieren.
- Ich kann die grafische Pfeilregel erklären.
- Ich kann typische Vorzeichenfehler vermeiden.
Vektoren als Verschiebungen
Ein Vektor hat eine Richtung und eine Länge. Im Koordinatensystem beschreiben die Komponenten, wie weit du in jede Achsenrichtung gehst.
Vektoraddition
Beim Addieren zweier Vektoren addierst du die passenden Komponenten:
Addiere \(\vec a=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}5\\3\\-2\end{pmatrix}\).
\(\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}2+5\\-1+3\\4+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\\2\end{pmatrix}\).
Komponente zu Komponente: oben mit oben, Mitte mit Mitte, unten mit unten.
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Grafisch addieren
Grafisch hängst du den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten. Der Ergebnisvektor geht vom Start des ersten zur Spitze des letzten Pfeils.
Du gehst zuerst 4 Schritte nach rechts und 1 Schritt nach oben. Danach gehst du 2 Schritte nach links und 3 Schritte nach oben.
Rechnerisch: \(\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\). Insgesamt landest du 2 Schritte rechts und 4 Schritte oben.
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Subtrahieren von Vektoren
Subtrahieren bedeutet: Addiere den Gegenvektor. Der Gegenvektor hat dieselben Zahlen mit umgekehrten Vorzeichen.
Vektorsubtraktion
Rechnerisch subtrahierst du wieder komponentenweise.
\(\vec a=\begin{pmatrix}6\\2\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec b=\begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}\).
\(\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}6-4\\2-(-3)\\-1-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}\).
Prüfungsmodus
Besonders bei Minus vor negativen Komponenten passieren Fehler. Schreibe die Klammern bewusst mit.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Vektoren addierst und subtrahierst du komponentenweise. Grafisch setzt du Pfeile hintereinander. Beim Subtrahieren ist der Gegenvektor der sicherste Gedanke, besonders bei negativen Komponenten.