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Ein Graph kann erst linksgekrümmt und dann rechtsgekrümmt sein. Die Stelle des Krümmungswechsels heißt Wendepunkt. Nach dieser Seite kannst du Kandidaten berechnen und prüfen.
- Ich kann erklären, was ein Wendepunkt ist.
- Ich kann die zweite Ableitung für Kandidaten nutzen.
- Ich kann mit der dritten Ableitung oder Vorzeichenwechsel prüfen.
- Ich kann den Punkt vollständig mit x- und y-Wert angeben.
Krümmung und zweite Ableitung
Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich die Steigung ändert. An einem Wendepunkt wechselt die Krümmung.
Wendepunkt
Ein Wendepunkt ist ein Punkt des Graphen, an dem sich die Krümmung ändert. Häufig gilt dort \(f''(x)=0\) und zusätzlich findet ein Krümmungswechsel statt.
\(f(x)=x^3-3x^2+2\).
\(f'(x)=3x^2-6x\) und \(f''(x)=6x-6\).
Setze \(f''(x)=0\): \(6x-6=0\), also \(x=1\).
\(y=f(1)=1-3+2=0\). Der Kandidat ist \(W(1|0)\).
\(f''(x)=0\) liefert nur Kandidaten. Du musst den Krümmungswechsel prüfen.
Prüfen
Eine einfache Prüfung ist die dritte Ableitung. Wenn \(f dreifach abgeleitet an x_0\) nicht 0 ist, liegt an \(x_0\) ein Wendepunkt vor.
Beim Beispiel ist \(f dreifach abgeleitet(x)=6\).
Da \(f dreifach abgeleitet(1)=6\) nicht 0 ist, ist \(W(1|0)\) wirklich ein Wendepunkt.
Prüfungsmodus
Gib den Wendepunkt erst an, wenn du auch den y-Wert berechnet hast. Nur \(x=1\) ist keine Punktangabe.
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Zusammenfassung
Wendepunkte zeigen einen Krümmungswechsel. Berechne Kandidaten mit \(f''(x)=0\), prüfe den Wechsel und setze den x-Wert in die Ausgangsfunktion ein.