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Vektoren beschreiben Richtungen. Der Winkel zwischen zwei Vektoren sagt dir, wie stark sich diese Richtungen unterscheiden, zum Beispiel in Geometrie, Physik und analytischer Geometrie.
- Ich kann das Skalarprodukt als Werkzeug für Winkel erklären.
- Ich kann den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen.
- Ich kann orthogonale und parallele Vektoren erkennen.
- Ich kann typische Fehler bei Betrag und Kosinus vermeiden.
Richtung und Winkel
Zwei Vektoren können in ähnliche, entgegengesetzte oder rechtwinklige Richtungen zeigen. Der Winkel liegt meist zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\).
Winkel zwischen Vektoren
Der Winkel \(\alpha\) zwischen zwei von null verschiedenen Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) erfüllt \(\cos(\alpha)=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\).
Die Vektoren \(\vec a=(1,0)\) und \(\vec b=(0,1)\) stehen senkrecht. Ihr Skalarprodukt ist \(0\), also ist \(\cos(\alpha)=0\) und \(\alpha=90^\circ\).
Skalarprodukt 0 bedeutet bei zwei Nichtnullvektoren: Die Vektoren stehen orthogonal.
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Berechnung Schritt für Schritt
Berechne zuerst Skalarprodukt und Beträge, setze dann in den Kosinus ein.
\(\vec a=(2,1)\) und \(\vec b=(1,3)\).
Skalarprodukt: \(2\cdot1+1\cdot3=5\).
Beträge: \(|\vec a|=\sqrt{5}\), \(|\vec b|=\sqrt{10}\).
\(\cos(\alpha)=\frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Also \(\alpha=45^\circ\).
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Prüfungsmodus
Achte auf Gradmaß am Taschenrechner. Wenn der Kosinuswert nahe 1 ist, ist der Winkel klein; nahe -1 ist er groß.
\(\vec a=(1,0)\) und \(\vec b=(-1,0)\): Skalarprodukt \(-1\), Beträge je 1. Also \(\cos(\alpha)=-1\) und \(\alpha=180^\circ\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Den Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit Skalarprodukt und Beträgen. Die Formel liefert den Kosinus des Winkels. Sonderfälle wie orthogonal, gleichgerichtet und entgegengesetzt helfen dir beim schnellen Prüfen.