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Die 2. binomische Formel sieht fast aus wie die erste. Der kleine Unterschied ist das Minus in der Klammer, und genau dieses Minus entscheidet über das Vorzeichen in der Mitte.
Nach dieser Seite kannst du \((a-b)^2\) ausmultiplizieren, typische Vorzeichenfehler vermeiden und passende Klammern rückwärts erkennen.
- Ich kann die 2. binomische Formel sicher aufschreiben.
- Ich kann erklären, warum nur der mittlere Term negativ wird.
- Ich kann Terme wie $(4x-3)^2$ ausmultiplizieren.
- Ich kann Vorzeichenfehler in Lösungen erkennen.
- Ich kann Quadratterme wieder als $(a-b)^2$ schreiben.
Woran du die 2. binomische Formel erkennst
Wenn eine Differenz quadriert wird, verwendest du die 2. binomische Formel. Differenz bedeutet: Zwischen den beiden Bausteinen steht ein Minus.
2. binomische Formel
Die 2. binomische Formel lautet:
Sie gilt, wenn eine Differenz aus zwei Termen quadriert wird.
Die 2. Formel ist keine komplett neue Idee. Auch hier wird eine Klammer mit sich selbst multipliziert: \((a-b)(a-b)\). Der Unterschied zur 1. Formel ist nur das Minus zwischen den Bausteinen. Dieses Minus wirkt sich auf die beiden gemischten Produkte aus.
Wichtig ist: Du kannst die Formel als „Quadrat einer Differenz” lesen. Erstes Quadrat, dann minus doppeltes Produkt, dann zweites Quadrat.
Nur der mittlere Term ist negativ. Die beiden Quadrate \(a^2\) und \(b^2\) bleiben positiv.
Multipliziere \((x-6)^2\) aus.
- Vergleiche mit \((a-b)^2\).
- Hier ist \(a=x\) und \(b=6\).
- Setze ein:
$$ (x-6)^2=x^2-2\cdot x\cdot 6+6^2 $$
- Vereinfache:
$$ x^2-12x+36 $$
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Warum das Vorzeichen so ist
Du musst die Formel nicht blind auswendig lernen. Sie entsteht durch normales Ausmultiplizieren.
Wir leiten die Formel her:
Jetzt multiplizierst du aus:
Die mittleren Terme sind beide negativ:
Das letzte Plus wirkt zuerst ungewohnt. Es entsteht, weil beim letzten Produkt \((-b)\cdot(-b)\) gerechnet wird. Minus mal Minus ergibt Plus.
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Die Formel anwenden
Am sichersten rechnest du in drei Schritten: Bausteine erkennen, Formel einsetzen, vereinfachen.
Multipliziere \((4x-3)^2\) aus.
- Bestimme \(a=4x\) und \(b=3\).
- Setze in \(a^2-2ab+b^2\) ein:
$$ (4x)^2-2\cdot4x\cdot3+3^2 $$
- Rechne aus:
$$ 16x^2-24x+9 $$
Also:
Multipliziere \((2x-\frac{1}{3})^2\) aus.
- Bestimme \(a=2x\) und \(b=\frac{1}{3}\).
- Setze ein:
$$ (2x)^2-2\cdot2x\cdot\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2 $$
- Vereinfache:
$$ 4x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{9} $$
Brüche ändern die Regel nicht. Sie machen nur die einzelnen Rechenschritte etwas sorgfältiger.
Setze für \(b\) den positiven Baustein hinter dem Minus ein. Das Minus steckt schon in der Formel \(a^2-2ab+b^2\).
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Rückwärts erkennen
Auch die 2. binomische Formel kann rückwärts vorkommen. Dann suchst du zwei Quadrate und prüfst, ob die Mitte das negative doppelte Produkt ist.
Vollständiges Quadrat
Ein vollständiges Quadrat ist ein Term, der als quadrierte Klammer geschrieben werden kann, zum Beispiel \(x^2-10x+25=(x-5)^2\).
Schreibe \(x^2-16x+64\) als Klammer.
- Erkenne die Quadrate: \(x^2\) und \(64=8^2\).
- Prüfe die Mitte:
$$ -2\cdot x\cdot8=-16x $$
- Das passt:
$$ x^2-16x+64=(x-8)^2 $$
Prüfe, ob \(4x^2-20x+25\) zur 2. binomischen Formel passt.
- \(4x^2=(2x)^2\).
- \(25=5^2\).
- Die Mitte müsste sein:
$$ -2\cdot2x\cdot5=-20x $$
- Das passt:
$$ 4x^2-20x+25=(2x-5)^2 $$
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Prüfungsmodus
Bei gemischten Aufgaben ist das Minus dein wichtigster Hinweis. Prüfe trotzdem immer, ob die ganze Klammer quadriert wird.
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Zusammenfassung
Die 2. binomische Formel lautet \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Du erkennst sie an einer Klammer mit Minus und hoch 2. Beim Anwenden musst du besonders auf die Vorzeichen achten: Die Mitte ist negativ, das letzte Quadrat bleibt positiv.