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Ortskurve bestimmen: Punkte und Parameter
Eine Ortskurve zeigt die Bahn, auf der sich gleichartige besondere Punkte einer Funktionenschar bewegen. Du bestimmst zuerst den Punkt in Abhängigkeit vom Scharparameter und beseitigst danach den Parameter aus seinen beiden Koordinatengleichungen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was eine Ortskurve beschreibt
Eine Funktionenschar besteht aus Funktionen, die von einem Scharparameter wie $k$ oder $a$ abhängen. Beim Ableiten nach $x$ behandelst du diesen Parameter wie eine feste Zahl.
Ortskurve
Eine Ortskurve, auch Trägergraph genannt, enthält gleichartige ausgezeichnete Punkte verschiedener Graphen einer Funktionenschar. Das können zum Beispiel alle Scheitelpunkte, alle Extrempunkte oder alle Wendepunkte sein.
Die Ortskurve ist also nicht ein einzelner Schargraph. Sie verbindet Punkte, die zu verschiedenen Parameterwerten gehören, aber dieselbe Eigenschaft haben.
Wie du den Parameter beseitigst
Ist ein besonderer Punkt bereits als $P(x(k)\mid y(k))$ bekannt, gehst du in vier Schritten vor:
- Schreibe die Koordinaten getrennt als $x=x(k)$ und $y=y(k)$ auf.
- Löse eine Koordinatengleichung nach $k$ auf.
- Setze den Ausdruck für $k$ in die andere Koordinatengleichung ein.
- Vereinfache. Die parameterfreie Beziehung zwischen $x$ und $y$ ist die Ortskurvengleichung.
Gegeben sind die Scheitelpunkte $S(3k\mid 2k-1)$.
Aus den Koordinaten folgen
$$x=3k \qquad\text{und}\qquad y=2k-1.$$
Die erste Gleichung liefert
$$k=\frac{x}{3}.$$
Diesen Ausdruck setzt du in die zweite Gleichung ein:
$$y=2\cdot\frac{x}{3}-1=\frac{2}{3}x-1.$$
Die Scheitelpunkte liegen daher auf der Geraden $y=\frac{2}{3}x-1$.
Beim Eliminieren verschwindet der Parameter, nicht die Koordinate $x$. Am Ende muss eine Beziehung zwischen $x$ und $y$ stehen.
Ein vollständiges Scheitelpunktbeispiel
Bestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte von
$$f_k(x)=x^2+2kx+3.$$
Durch quadratische Ergänzung erhältst du
$$f_k(x)=(x+k)^2+3-k^2.$$
Aus der Scheitelpunktform liest du den Scheitelpunkt ab:
$$S(-k\mid 3-k^2).$$
Damit gelten
$$x=-k \qquad\text{und}\qquad y=3-k^2.$$
Aus $x=-k$ folgt $k=-x$. Einsetzen ergibt
$$y=3-(-x)^2=3-x^2.$$
Die Ortskurve der Scheitelpunkte lautet also
$$y=3-x^2.$$
Die Rechnung passt zum Punkt: Für $k=0$ ist der Scheitelpunkt $S(0\mid 3)$, und auch die Ortskurve liefert bei $x=0$ den Wert $y=3$.
Vertiefung: Ortskurve von Wendepunkten
Bei Wendepunkten bestimmst du zuerst den Punkt mit Ableitungen. Danach bleibt die Parameterelimination dieselbe.
Gegeben sei
$$f_a(x)=x^3+3ax^2+4x-2a.$$
Beim Ableiten nach $x$ bleibt $a$ konstant:
$$f_a'(x)=3x^2+6ax+4,$$
$$f_a''(x)=6x+6a,$$
$$f_a'''(x)=6.$$
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt lautet $f_a''(x)=0$:
$$6x+6a=0 \quad\Rightarrow\quad x=-a.$$
Weil $f_a'''(-a)=6\neq 0$ gilt, liegt dort ein Wendepunkt vor. Seine zweite Koordinate ist
$$f_a(-a)=(-a)^3+3a(-a)^2+4(-a)-2a=2a^3-6a.$$
Also lautet der Wendepunkt
$$W(-a\mid 2a^3-6a).$$
Nun eliminierst du den Parameter. Aus $x=-a$ folgt $a=-x$. Damit wird
$$y=2(-x)^3-6(-x)=-2x^3+6x.$$
Die Wendepunkte liegen auf der Ortskurve $y=-2x^3+6x$.
Selbst üben und Fehler vermeiden
Bestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte von
$$f_k(x)=x^2+kx+1.$$
Versuche zuerst selbst: Ergänze zum Quadrat, notiere den Scheitelpunkt und eliminiere dann $k$.
Lösung: Die quadratische Ergänzung ergibt
$$f_k(x)=\left(x+\frac{k}{2}\right)^2+1-\frac{k^2}{4}.$$
Daraus folgt
$$S\left(-\frac{k}{2}\,\middle|\,1-\frac{k^2}{4}\right).$$
Aus $x=-\frac{k}{2}$ erhältst du $k=-2x$. Einsetzen in die zweite Koordinate liefert
$$y=1-\frac{(-2x)^2}{4}=1-x^2.$$
Die gesuchte Ortskurve ist $y=1-x^2$.
Typische Fehler kannst du mit drei Fragen vermeiden:
- Hast du den besonderen Punkt wirklich bestimmt und gegebenenfalls geprüft?
- Hast du den Parameter aus einer Koordinate korrekt isoliert?
- Ist der Parameter in der Endgleichung vollständig verschwunden?
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zuerst wird der besondere bestimmt. Danach löst du eine nach dem Parameter auf und den Ausdruck in die andere Koordinatengleichung ein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Ortskurve bestimmen
- besonderen Punkt bestimmen und prüfen
- Koordinaten $x=x(k)$ und $y=y(k)$ notieren
- Parameter aus einer Koordinate isolieren
- Ausdruck in die andere Koordinate einsetzen
- parameterfreie Gleichung vereinfachen
- Ortskurven typischer Punkte
- Scheitelpunkte
- Extrempunkte
- Wendepunkte