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Bei einer Funktionsschar gibt es nicht nur eine Kurve, sondern viele Kurven mit einem Parameter. Eine Ortskurve beschreibt dann, wo bestimmte Punkte dieser Kurven alle zusammen liegen.
- Ich kann erklären, was eine Funktionsschar ist.
- Ich kann eine Ortskurve als Menge besonderer Punkte deuten.
- Ich kann Parameter aus Koordinatenbeziehungen eliminieren.
- Ich kann den Rechenweg bei Extrempunkt-Ortskurven nachvollziehen.
Von der Schar zur Spur
Eine Funktionsschar enthält einen Parameter, zum Beispiel \(a\). Für jeden Wert von \(a\) bekommst du eine eigene Funktion. Wenn du aus jeder Funktion einen besonderen Punkt nimmst, entsteht eine Spur: die Ortskurve.
Ortskurve
Eine Ortskurve ist die Kurve aller Punkte mit einer bestimmten Eigenschaft, zum Beispiel aller Scheitelpunkte oder Extrempunkte einer Funktionsschar.
Die Scheitelpunkte einer Parabelschar liegen vielleicht bei \(S_a(a|a^2)\). Wenn \(x=a\) gilt, dann ist \(y=a^2\). Ersetze \(a\) durch \(x\): Die Ortskurve ist \(y=x^2\).
Ortskurve heißt: Du beschreibst nicht eine einzelne Funktion, sondern den Weg einer Punktfamilie.
Parameter eliminieren
Der zentrale Schritt ist fast immer: Schreibe x- und y-Koordinate des Punktes mit dem Parameter und löse den Parameter aus einer Gleichung heraus.
Parameter eliminieren
Eliminieren bedeutet hier: Den Parameter so ersetzen, dass am Ende eine Gleichung nur mit x und y übrig bleibt.
Gegeben sind Punkte \(P_t(2t|t+1)\).
- x-Koordinate: \(x=2t\), also \(t=\frac x2\).
- y-Koordinate: \(y=t+1\).
- Einsetzen: \(y=\frac x2+1\).
- Die Ortskurve ist die Gerade \(y=\frac x2+1\).
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Typischer Ablauf bei Extrempunkten
Bei Extrempunkt-Ortskurven bestimmst du zuerst die Extrempunkte der Schar. Danach leitest du daraus die Ortskurve ab.
Eine Schar hat Extrempunkte \(E_a(a|2a+3)\).
- Aus der x-Koordinate folgt \(x=a\).
- In y einsetzen: \(y=2x+3\).
- Alle Extrempunkte liegen auf der Geraden \(y=2x+3\).
In vollständigen Aufgaben musst du die Extrempunkte oft erst durch Ableiten finden. Die Ortskurve kommt danach, nicht davor.
Prüfungsmodus
Schreibe klar, welche Punkte du untersuchst: Scheitelpunkte, Hochpunkte, Tiefpunkte oder Wendepunkte. Eine Ortskurve ohne diese Eigenschaft ist unvollständig beschrieben.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Eine Ortskurve beschreibt, wo besondere Punkte einer Schar liegen. Du stellst x- und y-Koordinate mit dem Parameter dar, löst den Parameter aus einer Beziehung und setzt ihn in die andere ein. So entsteht eine Gleichung nur mit x und y.