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Funktionsscharen untersuchen: Aufgaben mit Lösungen
Eine Funktionsschar beschreibt viele verwandte Funktionen mit einer einzigen Vorschrift. Neben der Variablen $x$ enthält sie einen Parameter, zum Beispiel $k$. Für jeden zulässigen Wert von $k$ entsteht eine einzelne Funktion.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Eine Vorschrift beschreibt viele Funktionen
Bei der Schar
$$f_k(x)=x^2+k$$
ist $x$ die Funktionsvariable und $k$ der Parameter. Setzt du für $k$ verschiedene Zahlen ein, erhältst du einzelne Scharfunktionen:
- $k=0$: $f_0(x)=x^2$
- $k=1$: $f_1(x)=x^2+1$
- $k=-2$: $f_{-2}(x)=x^2-2$
Der Parameter $k$ verschiebt hier die Parabel nach oben oder unten. Beim Rechnen nach $x$ behandelst du $k$ wie eine konstante Zahl.
Funktionsschar
Eine Funktionsschar ist eine Menge von Funktionen, deren Vorschrift neben der Funktionsvariablen mindestens einen Parameter enthält. Jeder zulässige Parameterwert bestimmt eine einzelne Scharfunktion.
Der Index in $f_k(x)$ zeigt den Parameter an. Abgeleitet wird nach $x$; dabei bleibt $k$ konstant.
So gilt beispielsweise:
$$f_k(x)=kx^2 \quad\Rightarrow\quad f_k'(x)=2kx$$
Zulässige Werte und gemeinsame Punkte erkennen
Prüfe vor jeder Rechnung, welche Werte erlaubt sind. Bei
$$f_a(x)=\frac{1}{x-a}$$
würde für $x=a$ der Nenner null. Für jede einzelne Scharfunktion muss deshalb $x=a$ aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.
Auch beim Umformen musst du vorsichtig sein: Teilst du durch einen Parameter, musst du den Fall untersuchen, in dem dieser Parameter null ist.
Das zeigt die Schar
$$g_a(x)=ax^2.$$
Ihre Ableitungen lauten
$$g_a'(x)=2ax, \qquad g_a''(x)=2a.$$
Für $a\ne0$ folgt aus $2ax=0$ die Stelle $x=0$. Danach sind drei Fälle zu unterscheiden:
- $a>0$: Der Graph hat bei $(0\mid0)$ einen Tiefpunkt.
- $a<0$: Der Graph hat bei $(0\mid0)$ einen Hochpunkt.
- $a=0$: Es entsteht die konstante Nullfunktion $g_0(x)=0$. Die Division durch $a$ wäre hier unzulässig, und es gibt keinen einzelnen ausgezeichneten Hoch- oder Tiefpunkt.
Manche Scharen besitzen einen Punkt, durch den alle Graphen verlaufen. Bei
$$f_k(x)=x^2-kx$$
liefert $x=0$ unabhängig von $k$ den Wert $f_k(0)=0$. Deshalb ist $(0\mid0)$ ein gemeinsamer Punkt aller Scharkurven.
Nullstellen und Extrempunkte bestimmen
Nullstellen findest du wie bei einer einzelnen Funktion: Setze den Funktionsterm gleich null und behandle den Parameter als Konstante.
Gegeben ist
$$f_k(x)=x^2-4k^2.$$
Setze $f_k(x)=0$:
$$x^2-4k^2=0$$
$$x^2=4k^2$$
$$x=\pm 2k$$
Für $k=3$ liegen die Nullstellen bei $x=-6$ und $x=6$. Für $k=0$ fallen beide Ergebnisse bei $x=0$ zusammen; es gibt dann nur eine verschiedene Nullstelle.
Bei Extrempunkten gehst du in drei Schritten vor:
- Löse $f_k'(x)=0$.
- Untersuche mit $f_k''(x)$, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.
- Setze die gefundene Stelle in $f_k(x)$ ein, um die zweite Koordinate zu erhalten.
Bleibt der Parameter in einer Bedingung wie $f_k''(x)>0$ stehen, entscheidet häufig sein Vorzeichen über die Art des Extrempunkts.
Eine Ortskurve Schritt für Schritt berechnen
Eine Ortskurve verbindet besondere Punkte verschiedener Scharfunktionen, zum Beispiel alle Tiefpunkte. Dazu bestimmst du zuerst deren parameterabhängige Koordinaten und entfernst anschließend den Parameter.
Gesucht ist die Ortskurve der Tiefpunkte von
$$f_k(x)=x^2-kx.$$
1. Ableitungen bilden
$$f_k'(x)=2x-k, \qquad f_k''(x)=2$$
2. Extremstelle bestimmen
$$2x-k=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{k}{2}$$
Da $f_k''(x)=2>0$ gilt, besitzt jede Scharfunktion dort einen Tiefpunkt.
3. Zweite Koordinate berechnen
$$y=f_k\left(\frac{k}{2}\right)=\left(\frac{k}{2}\right)^2-k\cdot\frac{k}{2}=-\frac{k^2}{4}$$
Die Tiefpunkte haben also die Koordinaten
$$T_k\left(\frac{k}{2}\,\middle|\,-\frac{k^2}{4}\right).$$
4. Parameter entfernen
Aus $x=\frac{k}{2}$ folgt $k=2x$. Setze dies in die zweite Koordinate ein:
$$y=-\frac{(2x)^2}{4}=-x^2$$
Die Ortskurve aller Tiefpunkte lautet daher
$$y=-x^2.$$
Die Ortskurve ist nicht einfach ein beliebiger Graph aus der Schar. Sie beschreibt die Bahn, auf der die ausgewählten Punkte liegen, wenn sich der Parameter verändert.
Aufgaben mit vollständigen Lösungen
Aufgabe 1: Scharfunktion und Ableitung
Gegeben ist $h_a(x)=ax^2+3a$. Bestimme $h_2(x)$ und $h_a'(x)$.
Lösung: Für die einzelne Scharfunktion setzt du $a=2$ ein:
$$h_2(x)=2x^2+6.$$
Beim Ableiten nach $x$ bleibt $a$ konstant. Der Summand $3a$ hängt nicht von $x$ ab und wird deshalb zu null:
$$h_a'(x)=2ax.$$
Aufgabe 2: Parameterfälle erklären
Untersuche, welche Art von Graph $g_a(x)=ax^2$ für $a=4$, $a=-1$ und $a=0$ beschreibt.
Lösung: Für $a=4$ entsteht eine nach oben geöffnete Parabel mit Tiefpunkt $(0\mid0)$. Für $a=-1$ entsteht eine nach unten geöffnete Parabel mit Hochpunkt $(0\mid0)$. Für $a=0$ gilt $g_0(x)=0$; der Graph ist die $x$-Achse und keine Parabel.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Ableiten nach $x$ wird der Parameter wie eine behandelt. Für die Ortskurve werden zunächst die abhängig vom Parameter bestimmt. Anschließend wird der Parameter .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Funktionsschar
- Variable $x$ und Parameter
- einzelne Scharfunktionen
- zulässige Werte
- Nullstellen und Extrempunkte
- Fallunterscheidungen
- gemeinsame Punkte
- Ortskurven besonderer Punkte
Behandle den Parameter zunächst wie eine Zahl, behalte aber seine zulässigen Werte und sein Vorzeichen im Blick. Bei einer Ortskurve bestimmst du erst die besonderen Punkte und entfernst danach den Parameter aus ihren Koordinaten.