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Kurvendiskussion: Funktionen systematisch untersuchen
Bei einer Kurvendiskussion bestimmst du Eigenschaften einer Funktion und setzt sie zu einem stimmigen Bild ihres Graphen zusammen. Du prüfst aber nicht blind immer dieselbe Liste: Definitionsbereich und Aufgabenstellung entscheiden, welche Untersuchungen sinnvoll und überhaupt möglich sind.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Zuerst den Untersuchungsplan festlegen
Lies vor dem Rechnen die Aufgabenstellung und den Funktionsterm. Eine Polynomfunktion hat andere Besonderheiten als eine gebrochenrationale Funktion oder eine Logarithmusfunktion. Deshalb ist eine „vollständige“ Kurvendiskussion keine starre Checkliste.
Ein verlässlicher Arbeitsplan sieht so aus:
- Definitionsbereich bestimmen: Welche $x$-Werte sind erlaubt?
- Einfache Eigenschaften nutzen: Gibt es Symmetrie? Wo schneidet der Graph die Achsen?
- Großes Bild klären: Wie verhält sich $f(x)$ an Rändern des Definitionsbereichs und für $x\to\pm\infty$? Gibt es Polstellen oder Asymptoten?
- Ableitungen bilden: Welche Ableitungen werden für die verlangten Untersuchungen benötigt?
- Verlauf begründen: Wo steigt oder fällt der Graph? Wo liegen Extrempunkte?
- Krümmung untersuchen: Wo ist der Graph links- oder rechtsgekrümmt? Wo ändert sich die Krümmung?
- Ergebnisse zusammensetzen: Markante Punkte, Verlauf und Grenzverhalten müssen gemeinsam zur Skizze passen.
Der Definitionsbereich kommt zuerst. Ableitungen, Nullstellen und Grenzwerte untersuchst du nur dort, wo die Funktion definiert ist.
Manche Schritte entfallen. Bei einer Polynomfunktion gibt es keine Definitionslücke. Eine quadratische Funktion hat keinen Wendepunkt, weil ihre zweite Ableitung eine von null verschiedene Konstante ist. Asymptoten spielen vor allem bei gebrochenrationalen und manchen anderen nichtpolynomialen Funktionen eine Rolle. Auf einem abgeschlossenen Intervall musst du für absolute Hoch- oder Tiefstwerte zusätzlich die Randwerte vergleichen.
Definitionsbereich, Symmetrie und Achsenschnittpunkte
Der Definitionsbereich $D_f$ enthält alle Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Häufige Einschränkungen sind:
- Ein Nenner darf nicht null sein.
- Unter einer Quadratwurzel muss der Ausdruck mindestens null sein.
- Das Argument eines natürlichen Logarithmus muss größer als null sein.
Bei $g(x)=\frac{1}{x-2}$ gilt deshalb $D_g=\mathbb R\setminus\{2\}$. Dagegen ist jede Polynomfunktion für alle reellen Zahlen definiert.
Symmetrie kann Rechnungen sparen und dient später als Kontrolle:
- Gilt für alle $x\in D_f$ die Gleichung $f(-x)=f(x)$, ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
- Gilt für alle $x\in D_f$ die Gleichung $f(-x)=-f(x)$, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
- Gilt keine der beiden Gleichungen, folgt daraus nur: keine dieser beiden Symmetrien.
Für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse setzt du $x=0$ ein — aber nur, wenn $0\in D_f$ gilt. Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse erhältst du aus $f(x)=0$.
Für $p(x)=x^4-5x^2+4$ gilt $D_p=\mathbb R$. Da
$$p(-x)=(-x)^4-5(-x)^2+4=p(x),$$
ist der Graph zur $y$-Achse symmetrisch. Aus
$$x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=0$$
folgen die Nullstellen $x=-2,-1,1,2$. Außerdem ist $p(0)=4$, also liegt der $y$-Achsenabschnitt bei $(0\mid4)$. Die paarweise auftretenden Nullstellen passen zur Achsensymmetrie.
Grenzverhalten und Asymptoten passend prüfen
Grenzwerte beschreiben, woher ein Graph kommt und wohin er läuft. Du untersuchst zum Beispiel $x\to-\infty$, $x\to+\infty$ oder die Annäherung an eine ausgeschlossene Stelle.
Bei einer Polynomfunktion entscheidet der führende Term $a_nx^n$ über das Verhalten im Unendlichen:
| Grad und Leitkoeffizient | links: $x\to-\infty$ | rechts: $x\to+\infty$ |
|---|---|---|
| gerade, $a_n\gt0$ | $f(x)\to+\infty$ | $f(x)\to+\infty$ |
| gerade, $a_n\lt0$ | $f(x)\to-\infty$ | $f(x)\to-\infty$ |
| ungerade, $a_n\gt0$ | $f(x)\to-\infty$ | $f(x)\to+\infty$ |
| ungerade, $a_n\lt0$ | $f(x)\to+\infty$ | $f(x)\to-\infty$ |
Eine Asymptote ist eine Gerade oder eine einfachere Kurve, der sich der Graph annähert. Nicht jede Funktion besitzt eine Asymptote.
Für
$$g(x)=\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$$
gilt $D_g=\mathbb R\setminus\{1\}$. Wenn $x$ sich $1$ nähert, wird der Nenner des Restterms beliebig klein, während der Zähler $3$ bleibt. Daher ist $x=1$ eine senkrechte Asymptote. Für $x\to\pm\infty$ nähert sich $\frac{3}{x-1}$ der null; somit ist $y=2$ eine waagerechte Asymptote.
Bei einer ausgeschlossenen Stelle darfst du nicht allein aus „Nenner gleich null“ sofort auf eine senkrechte Asymptote schließen. Gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner können sich kürzen und stattdessen eine hebbare Lücke hinterlassen.
Ableitungen als Informationen über den Graphen
Die Ableitungen verbinden Rechnung und Geometrie:
- $f'(x)$ ist die Tangentensteigung. Positives Vorzeichen bedeutet Steigen, negatives Vorzeichen Fallen.
- $f''(x)$ beschreibt, wie sich die Steigung verändert. Ihr Vorzeichen bestimmt die Krümmung.
- $f'''(x)$ kann beim Nachweis eines Wendepunkts helfen, ersetzt aber nicht in jedem Fall die Betrachtung des Krümmungswechsels.
Bilde nur so viele Ableitungen, wie du wirklich brauchst. Schreibe vor jeder Rechnung auf, welche Regel du anwendest. Das verhindert besonders diese Fehler:
- Bei $(u(x)\cdot v(x))'$ nur einen Faktor abzuleiten statt die Produktregel $u'v+uv'$ zu verwenden.
- Bei verketteten Funktionen den inneren Faktor der Kettenregel zu vergessen.
- Vorzeichen oder Exponenten beim Ableiten zu verlieren.
- $f$, $f'$ und $f''$ zu verwechseln: Eine Nullstelle von $f'$ ist zunächst nur eine Stelle mit waagerechter Tangente, keine Nullstelle von $f$.
Für $f(x)=(2x^2+3x)\cdot x$ kannst du zuerst ausmultiplizieren:
$$f(x)=2x^3+3x^2.$$
Dann gilt
$$f'(x)=6x^2+6x$$
und
$$f''(x)=12x+6.$$
Die Produktregel führt zum selben Ergebnis: $(4x+3)\cdot x+(2x^2+3x)\cdot1=6x^2+6x$.
Monotonie und Extrempunkte sicher begründen
Die Monotonie beschreibt, in welchen Intervallen der Graph steigt oder fällt. Gehe so vor:
- Löse $f'(x)=0$ und beachte Stellen, an denen $f'$ nicht definiert ist.
- Teile den Definitionsbereich an diesen Stellen in Intervalle.
- Bestimme das Vorzeichen von $f'$ in jedem Intervall.
- Deute: $f'(x)\gt0$ bedeutet steigend, $f'(x)\lt0$ fallend.
Ein strikter lokaler Extrempunkt entsteht bei einem Wechsel der Monotonie:
- $f'$ wechselt von positiv zu negativ: Hochpunkt.
- $f'$ wechselt von negativ zu positiv: Tiefpunkt.
- Ist $f'$ in den Intervallen links und rechts von $x_E$ strikt gleichsignig, liegt dort kein strikter Extrempunkt vor.
Wenn $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E)\lt0$ gilt, liegt ein Hochpunkt vor. Bei $f''(x_E)\gt0$ liegt ein Tiefpunkt vor. Ist $f''(x_E)=0$, ist der Test ergebnislos; dann prüfst du den Vorzeichenwechsel von $f'$ oder verwendest ein anderes geeignetes Kriterium.
$f'(x_E)=0$ ist im üblichen differenzierbaren Fall eine notwendige Bedingung für eine innere Extremstelle, aber noch kein Beweis für einen Extrempunkt.
Erst nach der Art des Extremums berechnest du den Punkt $E(x_E\mid f(x_E))$. Auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ vergleichst du für absolute Extrema außerdem $f(a)$ und $f(b)$ mit den inneren Extremwerten.
Für $r(x)=x^3$ ist $r'(x)=3x^2$. Zwar gilt $r'(0)=0$, aber $r'$ ist links und rechts von $0$ positiv. Der Graph steigt auf beiden Seiten weiter. Deshalb ist $(0\mid0)$ kein Extrempunkt.
Krümmung und Wendepunkte nachweisen
Die zweite Ableitung zeigt, wie sich die Steigung verändert:
- $f''(x)\gt0$: Die Steigung nimmt zu; der Graph ist linksgekrümmt oder konvex.
- $f''(x)\lt0$: Die Steigung nimmt ab; der Graph ist rechtsgekrümmt oder konkav.
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Krümmung wechselt. Kandidaten sind zulässige Stellen $x_W\in D_f$, an denen $f''(x_W)=0$ gilt oder $f''$ nicht existiert. Für einen Nachweis muss $f$ an $x_W$ stetig sein; dann prüfst du, ob $f''$ beim Übergang über $x_W$ das Vorzeichen wechselt. Häufig genügt auch: $f''(x_W)=0$ und $f'''(x_W)\ne0$. Danach berechnest du $W(x_W\mid f(x_W))$.
Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also zusätzlich $f'(x_W)=0$, heißt Sattelpunkt. Nicht jede Stelle mit $f''(x)=0$ ist ein Wendepunkt, und nicht jeder Wendepunkt ist ein Sattelpunkt.
Bei $s(x)=x^4$ gilt $s''(x)=12x^2$. Die Gleichung $s''(x)=0$ liefert $x=0$. Links und rechts davon ist $s''(x)\gt0$; es gibt keinen Vorzeichenwechsel. Daher besitzt $s$ bei $x=0$ keinen Wendepunkt.
In Anwendungen musst du die Bedeutung der Funktion beachten. Ein Wendepunkt von $f$ kann eine Stelle stärkster Zu- oder Abnahme beschreiben, weil $f'$ dort ein Extremum haben kann. Wenn $f$ selbst aber eine Geschwindigkeit darstellt und die größte Geschwindigkeit gesucht ist, untersuchst du die Extrempunkte von $f$.
Vollständiges Beispiel und Graphskizze
Wir untersuchen die Polynomfunktion
$$f(x)=x^3-3x.$$
Grunddaten und Endverhalten
Als Polynomfunktion hat $f$ den Definitionsbereich $\mathbb R$. Wegen
$$f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-f(x)$$
ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
Die Nullstellen folgen aus
$$x^3-3x=x(x^2-3)=0.$$
Damit sind $x=-\sqrt3$, $x=0$ und $x=\sqrt3$ die Nullstellen. Der $y$-Achsenabschnitt ist ebenfalls $(0\mid0)$. Der führende Term $x^3$ zeigt:
$$f(x)\to-\infty\text{ für }x\to-\infty,$$
$$f(x)\to+\infty\text{ für }x\to+\infty.$$
Eine Polynomfunktion wie diese hat keine senkrechte oder waagerechte Asymptote.
Ableitungen, Monotonie und Extrema
Die benötigten Ableitungen sind
$$f'(x)=3x^2-3,\qquad f''(x)=6x,\qquad f'''(x)=6.$$
Aus $f'(x)=3(x-1)(x+1)=0$ folgen die Kandidaten $x=-1$ und $x=1$. Das Vorzeichen von $f'$ ist positiv für $x\lt-1$, negativ für $-1\lt x\lt1$ und positiv für $x\gt1$. Also gilt:
- $f$ steigt auf $(-\infty,-1)$,
- $f$ fällt auf $(-1,1)$,
- $f$ steigt auf $(1,\infty)$.
Der Wechsel von Steigen zu Fallen liefert einen Hochpunkt bei $x=-1$. Der Wechsel von Fallen zu Steigen liefert einen Tiefpunkt bei $x=1$. Die zweite Ableitung bestätigt dies:
$$f''(-1)=-6\lt0,\qquad f''(1)=6\gt0.$$
Mit $f(-1)=2$ und $f(1)=-2$ erhalten wir
$$H(-1\mid2),\qquad T(1\mid-2).$$
Krümmung und Wendepunkt
Aus $f''(x)=6x$ folgt: Für $x\lt0$ ist der Graph rechtsgekrümmt, für $x\gt0$ linksgekrümmt. Bei $x=0$ wechselt das Vorzeichen. Es liegt also ein Wendepunkt vor. Da $f(0)=0$, ist er
$$W(0\mid0).$$
Zusätzlich gilt $f'(0)=-3\ne0$. Der Wendepunkt ist daher kein Sattelpunkt.
Ergebnisse zur Skizze verbinden
Trage zuerst die drei Nullstellen, den Hochpunkt, den Tiefpunkt und den Wendepunkt ein. Zeichne dann den Verlauf so, dass er
- links unten beginnt und rechts oben endet,
- in den berechneten Intervallen steigt oder fällt,
- bei $x=0$ die Krümmung wechselt,
- und punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Kontrolliere Widersprüche: Ein gezeichneter Tiefpunkt bei $(-1\mid2)$ wäre mit dem Vorzeichenwechsel von $f'$ unvereinbar. Eine Skizze, die bei $x=0$ waagerecht verläuft, widerspräche $f'(0)=-3$.
Diagnose-Übung: Finde und repariere Fehler
Untersuche die Behauptungen zur Funktion $u(x)=x^3$ zuerst selbst. Entscheide jeweils, was falsch ist, und formuliere die kleinste Korrektur.
- „Aus $u'(0)=0$ folgt ein Tiefpunkt bei $(0\mid0)$.“
- „Weil $u''(0)=0$, liegt automatisch ein Wendepunkt vor.“
- „Der Wendepunkt ist kein Sattelpunkt, denn eine Nullstelle kann nie ein Sattelpunkt sein.“
Lösung und Diagnose:
- $u'(x)=3x^2$ ist auf beiden Seiten von $0$ positiv. Es gibt keinen Monotoniewechsel und damit keinen Tiefpunkt.
- Die Gleichung $u''(0)=0$ liefert nur einen Kandidaten. Hier ist $u''(x)=6x$; das Vorzeichen wechselt tatsächlich von negativ zu positiv. Deshalb liegt ein Wendepunkt vor.
- $u'(0)=0$ zeigt eine waagerechte Tangente. Zusammen mit dem nachgewiesenen Wendepunkt ist $(0\mid0)$ gerade ein Sattelpunkt. Dass der Punkt zugleich eine Nullstelle ist, spielt für diese Einordnung keine Rolle.
Nutze für deine eigene Kurvendiskussion am Ende diese Kontrollfragen:
- Habe ich jede berechnete Stelle in den Definitionsbereich eingeordnet?
- Habe ich Kandidaten und nachgewiesene Punkte unterschieden?
- Habe ich bei jedem Punkt auch den Funktionswert mit $f$, nicht mit $f'$ oder $f''$, berechnet?
- Stimmen Monotonie, Extrempunkte, Krümmung, Symmetrie und Endverhalten mit der Skizze überein?
- Habe ich bei einem abgeschlossenen Intervall die Randwerte geprüft?
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kurvendiskussion
- Grundlage: Definitionsbereich und Aufgabenstellung
- Einfache Merkmale: Symmetrie und Achsenschnittpunkte
- Globales Verhalten: Grenzwerte und mögliche Asymptoten
- Erste Ableitung: Monotonie und Extrempunkte
- Zweite Ableitung: Krümmung und Wendepunkte
- Synthese: Punkte, Intervalle und Verhalten zur Graphskizze verbinden