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Wenn du eine Achterbahn zeichnest, interessieren dich die höchsten Punkte, tiefsten Punkte und Stellen, an denen die Kurve ihr Biegeverhalten ändert. Genau darum geht es bei der Kurvendiskussion. Danach kannst du eine Funktionsgleichung Schritt für Schritt untersuchen und die Ergebnisse sinnvoll in eine Skizze übertragen.
- Ich kann erklären, was bei einer Kurvendiskussion untersucht wird.
- Ich kann Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte unterscheiden.
- Ich kann Ableitungen nutzen, um wichtige Punkte einer Kurve zu finden.
- Ich kann Ergebnisse mit einer Probe und einer Skizze kontrollieren.
- Ich kann typische Prüfungsaufgaben strukturiert bearbeiten.
Worum es bei der Kurvendiskussion geht
Eine Kurvendiskussion ist eine geordnete Untersuchung eines Funktionsgraphen. Du sammelst Informationen über den Graphen, damit du ihn verstehen und zeichnen kannst.
Kurvendiskussion
Bei einer Kurvendiskussion untersuchst du eine Funktion zum Beispiel auf Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen und eine passende Skizze.
Arbeite immer in einer festen Reihenfolge. So vergisst du keine wichtige Eigenschaft und erkennst Rechenfehler früher.
Nullstellen und Achsenschnittpunkte
Eine Nullstelle ist eine Stelle, an der der Funktionswert \(0\) ist. Im Koordinatensystem schneidet oder berührt der Graph dort die \(x\)-Achse.
Nullstelle
Eine Zahl \(x_0\) heißt Nullstelle von \(f\), wenn \(f(x_0)=0\) gilt. Der Punkt auf dem Graphen ist dann \((x_0|0)\).
Untersuche \(f(x)=x^3-3x\) auf Nullstellen.
- Setze \(f(x)=0\): \(x^3-3x=0\).
- Klammere \(x\) aus: \(x(x^2-3)=0\).
- Ein Produkt ist \(0\), wenn ein Faktor \(0\) ist.
- Also gilt \(x=0\) oder \(x^2=3\).
- Die Nullstellen sind \(x=0\), \(x=\sqrt{3}\) und \(x=-\sqrt{3}\).
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Extrempunkte mit Ableitungen finden
Ein Extrempunkt ist ein Hochpunkt oder Tiefpunkt. Die erste Ableitung beschreibt die Steigung. An einem glatten Hoch- oder Tiefpunkt ist die Steigung \(0\).
Extrempunkt
Ein Extrempunkt ist ein Punkt, in dessen Nähe der Graph entweder besonders hoch oder besonders tief liegt. Kandidaten findest du bei \(f'(x)=0\).
Bestimme die Extrempunkte von \(f(x)=x^3-3x\).
- Erste Ableitung: \(f'(x)=3x^2-3\).
- Setze \(f'(x)=0\): \(3x^2-3=0\).
- Daraus folgt \(x^2=1\), also \(x=-1\) oder \(x=1\).
- Zweite Ableitung: \(f''(x)=6x\).
- Bei \(x=-1\) ist \(f''(-1)=-6\), also liegt ein Hochpunkt vor. \(f(-1)=2\).
- Bei \(x=1\) ist \(f''(1)=6\), also liegt ein Tiefpunkt vor. \(f(1)=-2\).
Die Extrempunkte sind \(H(-1|2)\) und \(T(1|-2)\).
\(f'(x)=0\) liefert nur Kandidaten. Erst mit Vorzeichenwechsel oder zweiter Ableitung entscheidest du, ob es wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
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Wendepunkte und Krümmung
Die Krümmung beschreibt, ob der Graph eher wie eine Schüssel oder wie ein Bergstück gebogen ist. Ein Wendepunkt liegt dort, wo die Krümmung wechselt.
Wendepunkt
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Kandidaten findest du häufig mit \(f''(x)=0\).
Für \(f(x)=x^3-3x\) gilt \(f''(x)=6x\).
- Setze \(f''(x)=0\): \(6x=0\).
- Also ist \(x=0\) ein Kandidat.
- Links von \(0\) ist \(f''(x)<0\), rechts von \(0\) ist \(f''(x)>0\).
- Die Krümmung wechselt. Also liegt ein Wendepunkt vor.
- \(f(0)=0\), also ist \(W(0|0)\).
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Prüfungsmodus
In Klassenarbeiten wird selten nur eine Formel abgefragt. Oft musst du entscheiden, welche Information gesucht ist: Schnitt mit der Achse, höchster Punkt, tiefster Punkt oder Krümmungswechsel.
Eine Aufgabe fragt: "Wo steigt der Graph nicht mehr weiter und fällt danach?"
Das ist kein Nullstellenproblem. Gesucht ist ein Hochpunkt. Du brauchst also zuerst \(f'(x)=0\) und danach eine Prüfung, ob die Steigung von positiv zu negativ wechselt.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Bei der Kurvendiskussion untersuchst du eine Funktion geordnet. Nullstellen findest du mit \(f(x)=0\), Extremkandidaten mit \(f'(x)=0\) und Wendekandidaten mit \(f''(x)=0\). Wichtig ist immer die Prüfung: Ein Kandidat wird erst durch Begründung zu einem echten Punkt auf deiner Kurve.