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Wendepunkt berechnen: Anleitung mit Beispielen
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Graph von Links- zu Rechtskrümmung oder umgekehrt wechselt. Zum Berechnen suchst du zuerst Nullstellen der zweiten Ableitung, prüfst dort den Krümmungswechsel und bestimmst anschließend die y-Koordinate.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran du einen Wendepunkt erkennst
Stell dir den Graphen als Fahrspur vor: An einem Wendepunkt wechselst du von einer Rechtskurve in eine Linkskurve oder umgekehrt. Entscheidend ist also nicht, ob der Graph dort steigt oder fällt, sondern ob sich seine Krümmung ändert.
Wendepunkt
Ein Wendepunkt $W(x_0\mid y_0)$ ist ein Punkt des Graphen, an dem das Krümmungsverhalten wechselt. Die x-Koordinate $x_0$ heißt Wendestelle.
Die zweite Ableitung zeigt die Krümmung:
- $f''(x)>0$: Der Graph ist linksgekrümmt.
- $f''(x)<0$: Der Graph ist rechtsgekrümmt.
- $f''(x)=0$: Die Stelle ist nur ein Kandidat für eine Wendestelle.
Eine Nullstelle von $f''$ reicht nicht aus. Ein Wendepunkt liegt erst vor, wenn $f''$ an dieser Stelle das Vorzeichen wechselt.
So gehst du Schritt für Schritt vor
Für ganzrationale Funktionen führt dieses Verfahren zuverlässig zum Ziel:
- Gilt $f'''(x_0)\neq0$, ist die Wendestelle bestätigt. - Gilt $f'''(x_0)=0$, entscheidet dieser Test nichts. Prüfe dann das Vorzeichen von $f''$ links und rechts von $x_0$.
- Berechne $f''(x)$ und möglichst auch $f'''(x)$.
- Löse $f''(x)=0$. Die Lösungen sind Kandidaten $x_0$.
- Prüfe jeden Kandidaten:
- Berechne $y_0=f(x_0)$.
- Gib den Wendepunkt als $W(x_0\mid y_0)$ an.
Das Vorzeichen von $f'''(x_0)$ zeigt beim einfachen Test auch die Richtung:
- $f'''(x_0)>0$: von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt;
- $f'''(x_0)<0$: von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt.
$f''(x_0)=0$ ist eine notwendige Kandidatenbedingung. Die zusätzlichen Bedingungen $f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\neq0$ sind ein einfaches hinreichendes Kriterium: Sie bestätigen den Wendepunkt, erfassen aber nicht jeden möglichen Wendepunkt.
Ein vollständiges Beispiel zeigt den Rechenweg
Gegeben ist
$$f(x)=x^3-3x^2.$$
1. Ableitungen bilden
$$f'(x)=3x^2-6x$$
$$f''(x)=6x-6$$
$$f'''(x)=6$$
2. Kandidaten bestimmen
$$6x-6=0\Rightarrow x_0=1$$
3. Kandidaten prüfen
$$f'''(1)=6\neq0$$
Damit ist $x_0=1$ eine Wendestelle. Weil $f'''(1)>0$ ist, wechselt der Graph von Rechts- zu Linkskrümmung.
4. y-Koordinate berechnen
$$f(1)=1^3-3\cdot1^2=-2$$
5. Punkt angeben
$$W(1\mid-2)$$
Du kannst die Richtung zusätzlich direkt prüfen: $f''(0)=-6<0$ und $f''(2)=6>0$. Links von $1$ ist der Graph also rechtsgekrümmt, rechts davon linksgekrümmt.
Was du bei null als dritter Ableitung tust
Bei $f(x)=x^5$ erhältst du
$$f''(x)=20x^3,\qquad f'''(x)=60x^2.$$
Aus $f''(x)=0$ folgt $x_0=0$, aber auch $f'''(0)=0$. Der Test mit der dritten Ableitung bleibt also offen. Die Vorzeichenprobe entscheidet:
$$f''(-0{,}5)=-2{,}5<0$$
$$f''(0{,}5)=2{,}5>0$$
Das Vorzeichen wechselt von negativ zu positiv. Daher besitzt $f$ den Wendepunkt $W(0\mid0)$.
Ein Gegenbeispiel zeigt, warum die Vorzeichenprobe wichtig ist: Für $g(x)=x^4$ gilt $g''(x)=12x^2$. Zwar ist $g''(0)=0$, doch $g''$ ist links und rechts von $0$ positiv. Die Krümmung wechselt nicht; deshalb gibt es dort keinen Wendepunkt.
Sattelpunkt
Ein Sattelpunkt, auch Terrassenpunkt genannt, ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Zusätzlich zum Krümmungswechsel gilt also $f'(x_0)=0$.
Für $f(x)=x^5$ ist $f'(0)=0$. Der Punkt $W(0\mid0)$ ist deshalb zugleich ein Sattelpunkt. Die Gleichung $f'''(x_0)=0$ allein sagt dagegen nichts darüber aus, ob ein Sattelpunkt vorliegt.
Jetzt berechnest du selbst einen Wendepunkt
Untersuche
$$h(x)=x^3-6x^2+9x+1$$
auf Wendepunkte. Bestimme auch die Richtung des Krümmungswechsels.
Lösung
Zuerst bildest du die Ableitungen:
$$h'(x)=3x^2-12x+9$$
$$h''(x)=6x-12$$
$$h'''(x)=6$$
Aus $h''(x)=0$ folgt
$$6x-12=0\Rightarrow x_0=2.$$
Weil $h'''(2)=6\neq0$ gilt, ist die Wendestelle bestätigt. Das positive Vorzeichen zeigt den Wechsel von Rechts- zu Linkskrümmung.
Für die y-Koordinate setzt du in die ursprüngliche Funktion ein:
$$h(2)=8-24+18+1=3.$$
Damit lautet das Ergebnis
$$W(2\mid3).$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zum Berechnen eines Wendepunkts setzt du zuerst gleich null. Ist am Kandidaten , ist die Wendestelle bestätigt. Im unentschiedenen Fall prüfst du den . Die y-Koordinate berechnest du mit .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Wendepunkt berechnen
- Erkennen: $f''$ wechselt das Vorzeichen
- Kandidaten finden: $f''(x)=0$ lösen
- Einfach prüfen: $f'''(x_0)\neq0$
- Sonderfall prüfen: Vorzeichen von $f''$ vergleichen
- Punkt bestimmen: $W(x_0\mid f(x_0))$
- Richtung deuten: Vorzeichen von $f''$ beachten
- Sattelpunkt erkennen: zusätzlich $f'(x_0)=0$