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Sattelpunkt berechnen: Kriterien und Beispiel
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. An der Stelle $x_0$ gilt also $f'(x_0)=0$, zugleich wechselt dort die Krümmung. Du lernst, beide Eigenschaften zu prüfen, die Koordinaten zu berechnen und einen Sattelpunkt von einem Extrempunkt zu unterscheiden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was einen Sattelpunkt kennzeichnet
Stell dir einen Graphen vor, der steigt, kurz ganz flach wird und danach weiter steigt. Die Tangente ist an dieser einen Stelle waagerecht, doch es entsteht weder ein Hochpunkt noch ein Tiefpunkt. Zugleich ändert der Graph dort seine Krümmung.
Sattelpunkt
Ein Sattelpunkt, auch Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt, ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Für seine Stelle $x_0$ gilt $f'(x_0)=0$. Seine Koordinaten sind $S(x_0\mid f(x_0))$.
Ein gewöhnlicher Wendepunkt darf eine Tangente mit beliebiger Steigung besitzen. Beim Sattelpunkt kommt die Steigung $0$ hinzu.
Sattelpunkt = Wendepunkt + waagerechte Tangente. Nur eine waagerechte Tangente reicht nicht aus, denn auch ein Extrempunkt kann eine solche Tangente haben.
So weist du einen Sattelpunkt nach
Für eine dreimal differenzierbare Funktion kannst du systematisch vorgehen:
- Berechne $f'$, $f''$ und $f'''$.
- Löse $f''(x)=0$. Die Lösungen sind zunächst nur Kandidaten für Wendestellen.
- Prüfe für jeden Kandidaten den Wendepunkt: Gilt $f'''(x_0)\ne 0$, ist der Krümmungswechsel nachgewiesen.
- Prüfe die waagerechte Tangente mit $f'(x_0)=0$.
- Berechne $y_0=f(x_0)$ und gib $S(x_0\mid y_0)$ an.
Der Test $f'''(x_0)\ne 0$ ist hinreichend, aber nicht notwendig. Ergibt sich $f'''(x_0)=0$, kann trotzdem ein Sattelpunkt vorliegen. Prüfe dann, ob $f''$ links und rechts von $x_0$ unterschiedliche Vorzeichen hat. Dieser Vorzeichenwechsel zeigt den Krümmungswechsel.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für einen Sattelpunkt brauchst du einen und eine Tangente. Der Standardtest bestätigt den Wendepunkt durch $f'''(x_0)$.
Vollständiges Beispiel mit x hoch drei
Untersuche $f(x)=x^3$ auf Sattelpunkte.
1. Ableitungen bilden
$$f'(x)=3x^2,\qquad f''(x)=6x,\qquad f'''(x)=6$$
2. Wendestellen-Kandidaten bestimmen
$$f''(x)=0\quad\Rightarrow\quad 6x=0\quad\Rightarrow\quad x_0=0$$
3. Krümmungswechsel nachweisen
$$f'''(0)=6\ne 0$$
Damit ist $x_0=0$ eine Wendestelle.
4. Waagerechte Tangente prüfen
$$f'(0)=3\cdot 0^2=0$$
Die Wendestelle ist daher eine Sattelstelle.
5. Punktkoordinate berechnen
$$f(0)=0^3=0$$
Der Sattelpunkt lautet $S(0\mid 0)$. Das Ergebnis passt zum Graphen: Die Funktion steigt links und rechts von $0$ weiter, ist im Ursprung aber kurz waagerecht.
Warum zwei Nullen nicht genügen
Aus $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)=0$ darfst du noch nicht auf einen Sattelpunkt schließen. Das Gegenbeispiel $g(x)=x^4$ zeigt den Grund.
$$g'(x)=4x^3,\qquad g''(x)=12x^2,\qquad g'''(x)=24x$$
Bei $x_0=0$ sind $g'(0)=0$ und $g''(0)=0$. Trotzdem gilt $g(x)=x^4\ge 0$ auf beiden Seiten von $0$, während $g(0)=0$ ist. Der Ursprung ist also ein Tiefpunkt. Außerdem ist $g''(x)=12x^2$ links und rechts nicht negativ; ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung fehlt.
Die Gleichungen $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)=0$ liefern nur einen Kandidaten. Du musst den Krümmungswechsel zusätzlich nachweisen.
Selbst anwenden und begründen
Untersuche $h(x)=x^3-3x$ an der Stelle $x_0=0$. Entscheide, ob $W(0\mid 0)$ ein Sattelpunkt ist.
Die Ableitungen lauten:
$$h'(x)=3x^2-3,\qquad h''(x)=6x,\qquad h'''(x)=6$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Sattelpunkt
- Wendepunkt: Krümmung wechselt
- Tangente: $f'(x_0)=0$
- Standardnachweis: $f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\ne0$
- Alternative: Vorzeichenwechsel von $f''$
- Koordinaten: $S(x_0\mid f(x_0))$
- Abgrenzung: kein Hoch- oder Tiefpunkt