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Manche Graphen werden an einer Stelle kurz flach, wechseln dort aber nicht von Hoch zu Tief. Solche besonderen Wendestellen heißen Sattelpunkte.
- Ich kann Sattelpunkt und Extrempunkt unterscheiden.
- Ich kann notwendige Ableitungsbedingungen prüfen.
- Ich kann einen Sattelpunkt im Graphen deuten.
- Ich kann typische Fehler erkennen und mein Ergebnis prüfen.
Grundidee
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Der Graph ändert dort seine Krümmung, hat aber kein lokales Maximum oder Minimum.
Sattelpunkt
Ein Punkt \(x_0\) ist ein Sattelpunkt, wenn dort ein Wendepunkt vorliegt und zusätzlich \(f'(x_0)=0\) gilt. Die Tangente ist also waagerecht.
\(f(x)=x^3\) hat bei \(x=0\) einen Sattelpunkt: \(f'(0)=0\) und der Graph wechselt von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt.
Waagerechte Tangente allein reicht nicht: Es muss auch ein Wendepunkt sein.
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Vorgehen Schritt für Schritt
Berechne Ableitungen. Kandidaten entstehen oft aus \(f''(x)=0\). Dann prüfst du Krümmungswechsel und zusätzlich \(f'(x)=0\).
\(f(x)=x^3\). \(f'(x)=3x^2\), also \(f'(0)=0\). \(f''(x)=6x\) wechselt bei 0 das Vorzeichen. Daher ist \((0|0)\) ein Sattelpunkt.
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Typische Fehler und Prüfungsmodus
Verwechsle notwendige und hinreichende Bedingungen nicht. \(f''(x)=0\) allein beweist noch keinen Wendepunkt.
Manche Bücher nennen den Sattelpunkt auch Terrassenpunkt. Gemeint ist dieselbe Idee: kurz flach, aber kein Extremum.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Für sichere Lösungen prüfst du Ableitungen und Krümmungswechsel, nicht nur eine einzelne Gleichung.