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Extrempunkte berechnen: Schritt für Schritt
Extrempunkte sind Hoch- oder Tiefpunkte eines Funktionsgraphen. Du findest sie, indem du zuerst mögliche Extremstellen mit $f'(x)=0$ bestimmst, diese anschließend prüfst und zuletzt die zugehörigen Funktionswerte berechnest.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Begriffe und Voraussetzungen
Die folgende Methode gilt für innere Stellen, an denen die Funktion differenzierbar ist. Besitzt eine Aufgabe einen begrenzten Definitionsbereich, musst du mögliche Randextrema zusätzlich untersuchen.
Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt
- Die Extremstelle ist die x-Koordinate $x_0$.
- Der Extremwert ist der Funktionswert $f(x_0)$.
- Der Extrempunkt ist der vollständige Punkt $(x_0 | f(x_0))$.
An einer inneren differenzierbaren Extremstelle gilt die notwendige Bedingung
$$f'(x_0)=0.$$
Sie ist nur notwendig, nicht ausreichend: Eine Nullstelle von $f'$ ist zunächst ein Kandidat. Erst eine weitere Prüfung zeigt, ob dort tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt liegt.
Aus $f'(x_0)=0$ folgt nicht automatisch ein Extrempunkt. Aber jede innere differenzierbare Extremstelle muss diese Bedingung erfüllen.
Mit der zweiten Ableitung entscheiden
Wenn du einen Kandidaten $x_0$ gefunden hast, kann die zweite Ableitung die Art des Extremums zeigen:
- $f''(x_0)<0$: Der Graph ist dort nach unten gekrümmt — Hochpunkt.
- $f''(x_0)>0$: Der Graph ist dort nach oben gekrümmt — Tiefpunkt.
- $f''(x_0)=0$: Der Test liefert keine Entscheidung.
Vollständiges Beispiel
Gegeben ist
$$f(x)=x^3-3x^2+4.$$
1. Erste Ableitung bilden:
$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$
2. Kandidaten bestimmen:
$$3x(x-2)=0$$
Daraus folgen $x_1=0$ und $x_2=2$.
3. Zweite Ableitung bilden und einsetzen:
$$f''(x)=6x-6.$$
Für $x_1=0$ gilt $f''(0)=-6<0$. Dort liegt ein Hochpunkt.
Für $x_2=2$ gilt $f''(2)=6>0$. Dort liegt ein Tiefpunkt.
4. Funktionswerte berechnen:
$$f(0)=4$$
$$f(2)=0$$
Die vollständigen Extrempunkte sind der Hochpunkt $H(0 | 4)$ und der Tiefpunkt $T(2 | 0)$.
Wenn die zweite Ableitung null ist
Aus $f''(x_0)=0$ folgt weder „kein Extrempunkt“ noch automatisch „Sattelpunkt“. Der Test ist lediglich nicht entscheidend. Dann untersuchst du das Vorzeichen von $f'$ links und rechts des Kandidaten.
Betrachte
$$g(x)=(x-1)^4.$$
Es gilt
$$g'(x)=4(x-1)^3$$
und
$$g''(x)=12(x-1)^2.$$
Aus $g'(x)=0$ folgt der Kandidat $x_0=1$. Weil $g''(1)=0$ ist, reicht die zweite Ableitung nicht aus.
Links von 1 ist die Ableitung negativ, zum Beispiel $g'(0)=-4$. Rechts von 1 ist sie positiv, zum Beispiel $g'(2)=4$. Die Funktion fällt also zuerst und steigt danach.
Da $g(1)=0$ gilt, besitzt die Funktion den Tiefpunkt $T(1 | 0)$ — trotz $g''(1)=0$.
Bei $f''(x_0)=0$ prüfst du immer weiter: Entscheidend ist, ob $f'$ am Kandidaten das Vorzeichen wechselt.
Mit Vorzeichenwechsel und Monotonie prüfen
Das Vorzeichen von $f'$ beschreibt die Bewegungsrichtung des Graphen:
- $f'(x)>0$: $f$ steigt.
- $f'(x)<0$: $f$ fällt.
Daraus entsteht eine zuverlässige Entscheidungshilfe:
- Wechsel $+ → -$: erst steigend, dann fallend — Hochpunkt.
- Wechsel $- → +$: erst fallend, dann steigend — Tiefpunkt.
- Kein Vorzeichenwechsel: kein Extrempunkt.
Beim Beispiel $f(x)=x^3-3x^2+4$ hat die Ableitung $f'(x)=3x(x-2)$ die Vorzeichenfolge $+, -, +$ in den drei Bereichen, die durch 0 und 2 entstehen. Daher liegt bei 0 ein Hochpunkt und bei 2 ein Tiefpunkt vor. Zugleich liest du ab, wo die Funktion steigt oder fällt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Wechselt $f'$ von zu , liegt ein Hochpunkt vor. Beim Wechsel von zu liegt ein Tiefpunkt vor.
Typische Fehler vermeiden
Nur die Nullstellen von f' angeben
Eine Lösung von $f'(x)=0$ ist noch kein nachgewiesener Extrempunkt. Prüfe jeden Kandidaten mit $f''$ oder über den Vorzeichenwechsel von $f'$.
Die y-Koordinate vergessen
Mit $x_0$ hast du nur die Extremstelle. Für den vollständigen Punkt berechnest du zusätzlich $y_0=f(x_0)$.
Aus f'' gleich null zu viel schließen
Der Wert $f''(x_0)=0$ bedeutet nur, dass dieser Test offenbleibt. Prüfe anschließend das Vorzeichen von $f'$.
Lokale und globale Extrema verwechseln
Ein lokaler Hochpunkt ist nur in seiner Umgebung höher als benachbarte Punkte. Ein globaler Hochpunkt besitzt im gesamten betrachteten Bereich den größten Funktionswert. Für eine globale Aussage musst du deshalb alle relevanten Stellen und gegebenenfalls die Ränder des Bereichs vergleichen.
Eine praktische Reihenfolge lautet: Aufgabenbereich prüfen, $f'$ bilden, $f'=0$ lösen, Kandidaten klassifizieren, Funktionswerte berechnen und das Ergebnis als Punkt angeben.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Extrempunkte berechnen
- Kandidaten mit $f'(x)=0$ finden
- Kandidaten mit $f''$ oder Vorzeichenwechsel prüfen
- Hochpunkt bei $+ → -$ erkennen
- Tiefpunkt bei $- → +$ erkennen
- Funktionswert $f(x_0)$ berechnen
- vollständigen Punkt $(x_0 | f(x_0))$ angeben
Abschluss-Check
Du beherrschst das Verfahren, wenn du bei jedem Kandidaten drei Fragen beantworten kannst: Ist die Steigung null? Wechselt die Funktion dort zwischen Steigen und Fallen? Wie lautet der vollständige Punkt?