Mit Google fortfahren
Monotonie beschreibt, ob ein Graph steigt, fällt oder gleich bleibt. Danach kannst du mit der ersten Ableitung bestimmen, in welchen Bereichen eine Funktion zunimmt oder abnimmt.
- Ich kann steigend, fallend und konstant unterscheiden.
- Ich kann Monotonie über die erste Ableitung untersuchen.
- Ich kann kritische Stellen finden und Intervalle prüfen.
- Ich kann Vorzeichentabellen lesen.
Monotonie anschaulich
Wenn du auf einem Graphen von links nach rechts gehst, kann der Graph nach oben gehen, nach unten gehen oder waagerecht bleiben.
Monotonie
Eine Funktion ist auf einem Intervall monoton steigend, wenn größere x-Werte nicht kleinere y-Werte liefern. Sie ist monoton fallend, wenn größere x-Werte nicht größere y-Werte liefern.
\(f(x)=2x+1\) ist überall streng monoton steigend, weil die Gerade eine positive Steigung hat. Wenn \(x\) um 1 wächst, wächst \(f(x)\) um 2.
Monotonie ist immer eine Aussage über ein Intervall, nicht nur über einen einzelnen Punkt.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Erste Ableitung nutzen
Die erste Ableitung beschreibt die Steigung des Graphen. Ihr Vorzeichen zeigt das Monotonieverhalten.
Ableitungskriterium
Gilt \(f'(x)>0\) auf einem Intervall, dann ist \(f\) dort streng monoton steigend. Gilt \(f'(x)<0\), dann ist \(f\) dort streng monoton fallend.
Untersuche \(f(x)=x^2-4x\).
Ableitung: \(f'(x)=2x-4\). Kritische Stelle: \(2x-4=0\), also \(x=2\). Für \(x<2\) ist \(f'(x)<0\), also fällt der Graph. Für \(x>2\) ist \(f'(x)>0\), also steigt der Graph.
\(f\) ist fallend auf \((-\infty,2)\) und steigend auf \((2,\infty)\).
Interaktiver Lückentext wird geladen ...
Vorzeichentabelle
Bei schwierigeren Funktionen teilst du die Zahlengerade an den Nullstellen der Ableitung und testest je einen Wert pro Intervall.
\(f'(x)=(x-1)(x+2)\).
Nullstellen der Ableitung: \(x=1\) und \(x=-2\). Teste \(x=-3\): \((-4)(-1)>0\), also steigend. Teste \(x=0\): \((-1)(2)<0\), also fallend. Teste \(x=2\): \((1)(4)>0\), also steigend.
Die Funktion steigt auf \((-\infty,-2)\), fällt auf \((-2,1)\) und steigt auf \((1,\infty)\).
Prüfungsmodus
Eine einzelne Ableitung \(f'(2)=0\) beweist noch keinen Hoch- oder Tiefpunkt. Du brauchst das Vorzeichen links und rechts davon.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Alles auf einen Blick
Interaktive Mindmap wird geladen ...
Interaktive Lernkarten wird geladen ...
Zusammenfassung
Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion auf Intervallen. Mit der ersten Ableitung findest du es systematisch: ableiten, kritische Stellen bestimmen, Vorzeichen in den Intervallen prüfen und sauber notieren.