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Monotonie: Funktionen sicher untersuchen
Monotonie beschreibt, wie sich die Funktionswerte verändern, wenn du von links nach rechts gehst: Sie steigen, fallen oder bleiben gleich. Bei differenzierbaren Funktionen verrät dir das Vorzeichen der ersten Ableitung, auf welchen Intervallen der Graph steigt oder fällt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet Monotonie genau?
Du wählst zwei Stellen $x_1$ und $x_2$ in einem betrachteten Intervall mit $x_1\lt x_2$. Dann vergleichst du die zugehörigen Funktionswerte.
Monoton steigend und fallend
- Monoton steigend: $f(x_1)\le f(x_2)$. Der Funktionswert wird größer oder bleibt gleich.
- Streng monoton steigend: $f(x_1)\lt f(x_2)$. Der Funktionswert wird wirklich größer.
- Monoton fallend: $f(x_1)\ge f(x_2)$. Der Funktionswert wird kleiner oder bleibt gleich.
- Streng monoton fallend: $f(x_1)\gt f(x_2)$. Der Funktionswert wird wirklich kleiner.
Monotonie ist immer eine Aussage über ein Intervall, nicht über einen einzelnen Punkt. Dieselbe Funktion kann auf einem Intervall fallen und auf einem anderen steigen.
Für $f(x)=x^2$ gilt: Wenn $x$ von einem negativen Wert in Richtung $0$ wächst, werden die Funktionswerte kleiner. Deshalb ist $f$ auf $(-\infty,0]$ streng monoton fallend. Ab $0$ werden die Funktionswerte größer; auf $[0,\infty)$ ist $f$ streng monoton steigend.
Wie hilft die erste Ableitung?
Die erste Ableitung $f'(x)$ gibt die Tangentensteigung an. Ist $f$ auf einem Intervall differenzierbar, gelten diese hinreichenden Kriterien:
- $f'(x)\gt 0$ für alle Stellen im Intervall: $f$ ist dort streng monoton steigend.
- $f'(x)\lt 0$ für alle Stellen im Intervall: $f$ ist dort streng monoton fallend.
- $f'(x)\ge 0$: $f$ ist dort monoton steigend.
- $f'(x)\le 0$: $f$ ist dort monoton fallend.
Das Vorzeichen von $f'$ beschreibt die Richtung des Graphen: Plus bedeutet bergauf, Minus bedeutet bergab. Der Funktionswert selbst kann dabei positiv oder negativ sein.
Ein einzelner Ableitungswert $f'(x)=0$ entscheidet noch nicht über das Monotonieverhalten. Du musst die benachbarten Intervalle prüfen.
Bei $f(x)=x^3$ ist $f'(x)=3x^2\ge 0$. Nur an $x=0$ ist die Ableitung null. Trotzdem gilt für je zwei verschiedene Stellen $x_1\lt x_2$ auch $x_1^3\lt x_2^3$. Die Funktion ist daher auf ganz $\mathbb R$ streng monoton steigend.
Monotonieintervalle Schritt für Schritt bestimmen
Gehe bei einer differenzierbaren Funktion systematisch vor:
- Bestimme den Definitionsbereich.
- Berechne $f'(x)$.
- Suche Nullstellen von $f'$ sowie Stellen, an denen die Funktion oder $f'$ nicht definiert ist.
- Teile den Definitionsbereich an diesen Stellen in Intervalle.
- Bestimme in jedem Intervall das Vorzeichen von $f'$, zum Beispiel mit einem Testwert.
- Übersetze das Vorzeichen in steigend oder fallend.
Untersuche $f(x)=4x^3-12x$.
1. Ableiten:
$$f'(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$$
2. Trennstellen finden:
$$f'(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=-1\text{ oder }x=1$$
3. Vorzeichen prüfen:
| Intervall | Testwert | Wert von $f'$ | Verhalten |
|---|---|---|---|
| $x\lt -1$ | $-2$ | $36\gt 0$ | streng steigend |
| $-1\lt x\lt 1$ | $0$ | $-12\lt 0$ | streng fallend |
| $x\gt 1$ | $2$ | $36\gt 0$ | streng steigend |
Damit ist $f$ auf $(-\infty,-1]$ und $[1,\infty)$ streng monoton steigend sowie auf $[-1,1]$ streng monoton fallend.
Sonderfälle und typische Fehler
Waagerechte Stellen
Eine Nullstelle von $f'$ kann einen Wechsel anzeigen, muss es aber nicht. Bei $x^3$ bleibt $f'$ links und rechts von $0$ positiv. Bei $x^2$ wechselt $f'$ bei $0$ von negativ zu positiv.
Konstante Funktionen
Für $f(x)=3$ gilt $f'(x)=0$ auf jedem Intervall. Die Funktion ist gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend, weil ihre Werte weder sinken noch steigen. Sie ist aber in keiner Richtung streng monoton.
Definitionslücken
An einer Definitionslücke gehört die Stelle nicht zum Definitionsbereich. Sie trennt deshalb die Untersuchung in verschiedene Bereiche. Besonders bei gebrochenrationalen Funktionen darfst du eine Polstelle nicht wie eine gewöhnliche Nullstelle von $f'$ behandeln.
Die zweite Ableitung kann beim Einordnen einer kritischen Stelle helfen: $f''(x_0)\gt 0$ spricht bei $f'(x_0)=0$ für einen Tiefpunkt, $f''(x_0)\lt 0$ für einen Hochpunkt. Ist $f''(x_0)=0$, folgt daraus allein noch keine sichere Einordnung. Für Monotonie bleibt die Vorzeichenprüfung von $f'$ zuverlässig.
Wende das Verfahren selbst an
Untersuche $g(x)=-x^2+1$ auf Monotonie.
- Berechne $g'(x)$.
- Bestimme die kritische Stelle.
- Prüfe das Vorzeichen links und rechts davon.
- Gib die Monotonieintervalle an.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Es gilt $g'(x)=$. Die kritische Stelle ist $x=$. Für $x\lt 0$ ist $g'(x)$ , also ist $g$ dort . Für $x\gt 0$ ist $g'(x)$ negativ, also ist $g$ dort .
Prüfe dein Ergebnis auch am Funktionsterm: $g$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr größter Funktionswert liegt bei $x=0$; links davon geht es bergauf, rechts davon bergab.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Monotonie
- Funktionswerte vergleichen: steigend oder fallend
- Strenge Monotonie: keine gleichen Werte bei $x_1\lt x_2$
- Erste Ableitung: Vorzeichen zeigt die Richtung
- Trennstellen: Nullstellen von $f'$ und Definitionslücken
- Vorzeichentabelle: jedes Teilintervall prüfen
- Sonderfall: $f'=0$ bedeutet nicht automatisch einen Wechsel