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Ableitung einfach erklärt: Steigung und Regeln
Die Ableitung $f'(x)$ beschreibt, wie stark sich eine Funktion an der Stelle $x$ verändert. Am Graphen ist sie die Steigung der Tangente: Ein positiver Wert bedeutet Steigen, ein negativer Wert Fallen.
Auf dieser Seite entwickelst du die Ableitung von der Sekantensteigung bis zur Ableitungsfunktion. Danach kannst du Ableitungen deuten, graphisch untersuchen und mit grundlegenden Regeln berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was misst eine Ableitung?
Der Funktionswert $f(x_0)$ und der Ableitungswert $f'(x_0)$ beantworten verschiedene Fragen:
- $f(x_0)$ sagt, welchen Wert die Funktion an der Stelle $x_0$ hat.
- $f'(x_0)$ sagt, wie stark und in welche Richtung sich die Funktion dort verändert.
Ableitung
Die Ableitung $f'(x_0)$ ist die lokale Änderungsrate von $f$ an der Stelle $x_0$. Am Graphen entspricht sie der Steigung der Tangente im Punkt $(x_0\mid f(x_0))$.
Bei einer Wegfunktion beschreibt die Ableitung beispielsweise die momentane Geschwindigkeit. Der Funktionswert gibt dann den erreichten Weg an, die Ableitung dessen augenblickliche Änderung.
Für $f(x)=x^3+1$ gilt nach der Potenzregel $f'(x)=3x^2$.
Am Punkt $P(1\mid2)$ ist
$$f'(1)=3\cdot1^2=3.$$
Die Tangente an den Graphen hat dort also die Steigung $3$. Der Wert $f(1)=2$ ist dagegen die Höhe des Punktes und keine Steigung.
Wie wird aus einer Sekante eine Tangente?
Zwischen zwei Punkten eines Graphen lässt sich zunächst nur eine mittlere Änderungsrate bestimmen. Die Gerade durch beide Punkte heißt Sekante.
Für die Stellen $x_0$ und $x_0+h$ lautet ihre Steigung:
$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},\qquad h\ne0.$$
Dieser Ausdruck heißt Differenzenquotient. Je näher der zweite Punkt an $x_0$ rückt, desto mehr nähert sich die Sekante der Tangente. Dazu lässt man $h$ gegen null gehen.
Differentialquotient
Falls der Grenzwert existiert, ist
$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$
Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient. Er beschreibt die lokale Änderungsrate an einer einzigen Stelle.
Gesucht ist die Ableitung von $f(x)=x^2$ an der Stelle $x_0=1$.
Zuerst bilden wir den Differenzenquotienten:
$$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^2-1}{h}.$$
Wir lösen die Klammer auf und kürzen erst danach:
$$\frac{1+2h+h^2-1}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h.$$
Nun lassen wir $h$ gegen null gehen:
$$f'(1)=\lim_{h\to0}(2+h)=2.$$
Die Tangente an $f(x)=x^2$ hat bei $x=1$ die Steigung $2$.
Der Differenzenquotient beschreibt eine mittlere Änderung zwischen zwei Stellen. Sein Grenzwert beschreibt die lokale Änderung an einer Stelle.
Was verrät die Ableitungsfunktion über den Graphen?
Berechnet man die lokale Steigung für jede zulässige Stelle, entsteht die Ableitungsfunktion $f'$. Ihr Vorzeichen beschreibt den Verlauf von $f$:
- $f'(x)>0$: $f$ steigt dort.
- $f'(x)<0$: $f$ fällt dort.
- $f'(x)=0$: Die Tangente ist waagerecht.
Eine waagerechte Tangente kann zu einem Hochpunkt, einem Tiefpunkt oder einem Sattelpunkt gehören. Die Gleichung $f'(x)=0$ liefert deshalb nur eine Kandidatenstelle für einen Extrempunkt.
Für
$$f(x)=x^3-3x$$
lautet die Ableitung
$$f'(x)=3x^2-3.$$
An zwei Stellen prüfen wir das Vorzeichen:
- $f'(-1{,}5)=3{,}75>0$: Der Graph steigt dort.
- $f'(0{,}5)=-2{,}25<0$: Der Graph fällt dort.
Außerdem gilt $f'(1)=0$. Dort ist die Tangente waagerecht. Um die Stelle als Tiefpunkt einzuordnen, muss zusätzlich untersucht werden, wie sich die Steigung vor und nach $x=1$ verhält oder welches Vorzeichen $f''(1)$ besitzt.
Wie skizzierst du den Graphen von f Strich?
Beim graphischen Ableiten liest du die Steigungen von $f$ ab und trägst sie als Funktionswerte von $f'$ ein.
Gehe schrittweise vor:
- Markiere Bereiche, in denen $f$ steigt oder fällt.
- Suche waagerechte Tangenten von $f$. Dort besitzt $f'$ Nullstellen.
- Vergleiche die Steilheit: Eine große positive Steigung führt zu einem großen positiven Wert von $f'$.
- Verbinde die gewonnenen Informationen zu einem plausiblen Verlauf.
Für die Parabel $f(x)=x^2$ gilt $f'(x)=2x$.
- Links von $x=0$ fällt die Parabel, also ist $f'(x)<0$.
- Bei $x=0$ hat sie eine waagerechte Tangente, also ist $f'(0)=0$.
- Rechts von $x=0$ steigt sie, also ist $f'(x)>0$.
Der Ableitungsgraph ist deshalb die Gerade mit der Gleichung $f'(x)=2x$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Steigt der Graph von $f$, ist $f'$ . An einer waagerechten Tangente gilt $f'=$. Fällt $f$, ist $f'$ .
Wie berechnest du Ableitungen effizient?
Prüfe vor dem Ableiten den Aufbau der Funktion. Vereinfache den Term, wenn dadurch unnötige Produkt- oder Quotientenregeln entfallen.
Die wichtigsten Regeln sind:
- Konstantenregel: $(c)'=0$
- Potenzregel: $(x^n)'=n x^{n-1}$
- Faktorregel: $(c\,g(x))'=c\,g'(x)$
- Summenregel: $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$
- Produktregel: $(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
- Quotientenregel:
$$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2},\qquad v(x)\ne0$$
- Kettenregel: $(u(v(x)))'=u'(v(x))\cdot v'(x)$
Die Potenzregel kann auch bei negativen oder rationalen Exponenten verwendet werden, sofern der betrachtete Term definiert ist. Exponentialfunktionen werden dagegen nicht wie Potenzen von $x$ abgeleitet.
Leite
$$f(x)=(x^2+2x-4)^{15}$$
ab. Die äußere Funktion ist die 15. Potenz, die innere Funktion ist $g(x)=x^2+2x-4$.
Innere Ableitung:
$$g'(x)=2x+2.$$
Äußere Ableitung und Kettenregel:
$$f'(x)=15(x^2+2x-4)^{14}(2x+2).$$
Der Faktor $(2x+2)$ darf nicht fehlen: Er ist die innere Ableitung.
Wo liegen typische Grenzen und Fehler?
Eine Funktion kann nur dort abgeleitet werden, wo sie definiert und lokal differenzierbar ist.
Differenzierbarkeit
Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn dort eine eindeutige endliche Ableitung existiert. Bei $f(x)=|x|$ treffen bei $x=0$ zwei unterschiedliche Steigungsrichtungen in einem Knick zusammen. Dort gibt es keine eindeutige Tangentensteigung.
Achte besonders auf diese Fehlerquellen:
- Bei einem Quotienten darfst du Zähler und Nenner nicht getrennt ableiten und danach dividieren.
- Bei einem Produkt ist $u'v'$ im Allgemeinen falsch; verwende $u'v+uv'$.
- Bei einer Verkettung darf die innere Ableitung nicht fehlen.
- Prüfe den Definitionsbereich von Funktion und Ableitung getrennt.
- Aus $f'(x)=0$ allein folgt noch kein Extrempunkt.
Für Extrempunkte gehst du gewöhnlich so vor:
- Löse $f'(x)=0$ und erhalte Kandidaten.
- Untersuche einen Vorzeichenwechsel von $f'$ oder prüfe $f''$.
- Berechne mit $f(x)$ die zugehörige Höhe.
- Prüfe bei eingeschränkten Definitionsbereichen zusätzlich Randstellen und nicht differenzierbare Stellen.
Gilt an einer Kandidatenstelle $x_0$ die Bedingung $f''(x_0)>0$, liegt dort sicher ein Tiefpunkt. Bei $f''(x_0)<0$ liegt ein Hochpunkt vor. Aus $f''(x_0)=0$ folgt noch keine Entscheidung.
Für
$$f(x)=x(x^2-1)$$
kannst du zuerst ausmultiplizieren:
$$f(x)=x^3-x.$$
Damit folgt ohne Produktregel
$$f'(x)=3x^2-1.$$
An der Stelle $x=\frac12$ gilt
$$f'\left(\frac12\right)=3\left(\frac12\right)^2-1=\frac34-1=-\frac14.$$
Der negative Wert zeigt: Der Graph fällt an dieser Stelle leicht.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Ableitung
- Bedeutung: lokale Änderungsrate und Tangentensteigung
- Entstehung: Grenzwert der Sekantensteigungen
- Graphische Deutung: Vorzeichen und Nullstellen von $f'$
- Berechnung: Grundregeln passend zum Funktionsterm wählen
- Prüfung: Definitionsbereich und Differenzierbarkeit beachten
- Anwendung: Steigung, Monotonie und Extremstellen untersuchen
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, kannst du die Ableitung als Grenzwert, Steigung und Funktion deuten und passende Regeln bewusst anwenden.