Mit Google fortfahren
Die Ableitung beantwortet eine zentrale Frage: Wie schnell ändert sich etwas genau jetzt? Sie beschreibt Steigung, Geschwindigkeit und Änderungsrate. Damit wird aus einem Funktionsgraphen ein Werkzeug zum Untersuchen.
Nach dieser Seite kannst du die Ableitung als Steigung deuten, einfache Ableitungsregeln anwenden und Ergebnisse sinnvoll prüfen.
- Ich kann die Ableitung als momentane Änderungsrate erklären.
- Ich kann Tangentensteigung und Sekantensteigung unterscheiden.
- Ich kann Potenzregel, Faktorregel und Summenregel anwenden.
- Ich kann einfache Funktionen ableiten.
- Ich kann die Bedeutung von $f'(x)$ in Aufgaben deuten.
Wofür die Ableitung da ist
Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung. Eine Kurve kann an jeder Stelle anders steil sein. Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an einer Stelle an.
Ableitung
Die Ableitung \(f'(x)\) einer Funktion beschreibt die momentane Änderungsrate. Geometrisch ist sie die Steigung der Tangente an den Graphen von \(f\).
Tangente
Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen an einer Stelle berührt und dort dieselbe Richtung hat.
Wenn \(s(t)\) den zurückgelegten Weg beschreibt, dann beschreibt \(s'(t)\) die momentane Geschwindigkeit.
Ableitung bedeutet: Wie stark ändert sich der Funktionswert an genau dieser Stelle?
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Von der mittleren zur momentanen Änderung
Zwischen zwei Punkten berechnest du eine durchschnittliche Steigung. Die Ableitung betrachtet den Grenzfall, wenn die Punkte zusammenrücken.
Sekantensteigung
Die Sekantensteigung ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten eines Graphen.
Für \(f(x)=x^2\) zwischen \(x=1\) und \(x=3\) gilt:
Die mittlere Steigung ist 4. Die momentane Steigung bei \(x=2\) ist ebenfalls \(f'(2)=4\), weil \(f'(x)=2x\).
Interaktiver Lückentext wird geladen ...
Ableitungsregeln
Für viele Schulaufgaben reichen wenige Grundregeln.
Potenzregel
Die Potenzregel lautet: Wenn \(f(x)=x^n\), dann ist \(f'(x)=n\cdot x^{n-1}\).
Leite \(f(x)=3x^4-5x^2+7x\) ab.
- \(3x^4\) wird zu \(12x^3\).
- \(-5x^2\) wird zu \(-10x\).
- \(7x\) wird zu \(7\).
Also:
Konstante Zahlen ohne \(x\) fallen beim Ableiten weg. Der Faktor vor einer Potenz bleibt als Faktor erhalten.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Prüfungsmodus
Lies genau, ob nach Funktion, Ableitung oder Steigung an einer Stelle gefragt ist.
\(f(x)=x^3-2x\). Gesucht ist die Steigung bei \(x=2\).
- Ableiten: \(f'(x)=3x^2-2\).
- Einsetzen: \(f'(2)=3\cdot4-2=10\).
Die Tangentensteigung bei \(x=2\) ist 10.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Alles auf einen Blick
Interaktive Mindmap wird geladen ...
Interaktive Lernkarten wird geladen ...
Zusammenfassung
Die Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate einer Funktion. Geometrisch ist sie die Tangentensteigung. Mit Potenz-, Faktor- und Summenregel kannst du viele Funktionen ableiten und danach Werte wie \(f'(2)\) berechnen.