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Der Differentialquotient beschreibt die Steigung in einem einzigen Punkt. Dafür zoomst du von einer durchschnittlichen Änderung immer näher an den Punkt heran.
- Ich kann Differenzenquotient und Differentialquotient unterscheiden.
- Ich kann den Grenzwertgedanken erklären.
- Ich kann die h-Methode an einem einfachen Beispiel anwenden.
- Ich kann den Differentialquotienten als Tangentensteigung deuten.
Von der mittleren zur momentanen Änderung
Der Differenzenquotient misst die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten. Der Differentialquotient ist die Steigung direkt in einem Punkt.
Differenzenquotient
Der Differenzenquotient ist \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\) und beschreibt die Sekantensteigung zwischen zwei Punkten.
Für \(f(x)=x^2\) zwischen \(x=1\) und \(x=3\):
Das ist die mittlere Steigung auf dem Intervall.
Sekante: zwei Punkte. Tangente: ein Punkt.
Der Grenzwert
Beim Differentialquotienten lässt du den zweiten Punkt immer näher an den ersten rücken. Der Abstand heißt oft \(h\).
Differentialquotient
Der Differentialquotient an der Stelle \(x_0\) ist \(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\), falls dieser Grenzwert existiert.
Für \(f(x)=x^2\) an \(x_0=3\):
Für \(h\to0\) wird daraus 6. Die Tangentensteigung ist 6.
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Prüfungsmodus
Achte in Aufgaben darauf, ob nach durchschnittlicher oder momentaner Änderung gefragt wird. Wörter wie im Intervall deuten auf Differenzenquotient, Wörter wie an der Stelle auf Differentialquotient.
Geschwindigkeit auf einer ganzen Fahrt ist mittlere Änderungsrate. Geschwindigkeit genau nach 3 Sekunden ist momentane Änderungsrate.
Die Frage entscheidet: Intervall oder Stelle?
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Der Differentialquotient ist der Grenzwert von Differenzenquotienten. Er liefert die Tangentensteigung und damit die Ableitung an einer Stelle.