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Differentialquotient: Ableitung als Grenzwert
Der Differentialquotient ist der Grenzwert von Sekantensteigungen. Er beschreibt die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle und damit die lokale oder momentane Änderungsrate. Existiert dieser Grenzwert, ist die Funktion dort differenzierbar.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Von der mittleren Änderung zur Sekantensteigung
Stell dir vor, eine Pflanze ist an Tag $1$ genau $1\,\mathrm{cm}$ und an Tag $3$ genau $9\,\mathrm{cm}$ hoch. Insgesamt wächst sie um $8\,\mathrm{cm}$ in $2$ Tagen. Pro Tag sind das im Durchschnitt
$$\frac{9\,\mathrm{cm}-1\,\mathrm{cm}}{3\,\mathrm{Tage}-1\,\mathrm{Tag}}=4\,\mathrm{cm/Tag}.$$
Diese durchschnittliche Änderung pro Einheit berechnet der Differenzenquotient.
Differenzenquotient
Für zwei verschiedene Stellen $x_1$ und $x_2$ gilt
$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1},\qquad x_1\ne x_2.$$
Der Quotient ist die mittlere Änderungsrate im Intervall zwischen $x_1$ und $x_2$. Geometrisch ist er die Steigung der Sekante durch die beiden Graphenpunkte.
Der Wert gilt nur für das gewählte Intervall. Er ist nicht die gesamte Änderung, sondern die Änderung pro Einheit von $x$. Seine Einheit lautet entsprechend „Einheit von $f(x)$ pro Einheit von $x$“.
Für $f(x)=x^2+1$ im Intervall $[1,3]$ gilt:
$$f(1)=2,\qquad f(3)=10.$$
Damit ist die mittlere Steigung
$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{10-2}{2}=4.$$
Der Funktionswert nimmt zwischen $x=1$ und $x=3$ durchschnittlich um $4$ pro Schritt in $x$-Richtung zu.
Wie die Sekante zur Tangente wird
Für die Steigung an nur einer Stelle $x_0$ reichen zwei fest gewählte Punkte nicht aus. Der zweite Punkt wird deshalb immer näher an $x_0$ herangeschoben. Die Abstände werden kleiner, bleiben während der Rechnung aber zunächst von null verschieden.
Dabei geschieht Folgendes:
- Eine Sekante verbindet zwei verschiedene Graphenpunkte.
- Ihre Steigung wird mit dem Differenzenquotienten berechnet.
- Der zweite Punkt nähert sich dem Punkt bei $x_0$.
- Nähern sich die Sekantensteigungen einem festen Wert, ist dieser Wert die Tangentensteigung bei $x_0$.
Differentialquotient
Der Differentialquotient an der Stelle $x_0$ ist
$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$
Er ist die lokale Änderungsrate und die Steigung der Tangente am Graphenpunkt $(x_0\mid f(x_0))$.
Eine Tangente wird hier lokal über den Grenzwert der Sekantensteigungen verstanden. Sie muss den gesamten Graphen nicht nur in einem einzigen Punkt treffen.
Differenzenquotient: zwei verschiedene Stellen, Sekante, mittlere Änderung. Differentialquotient: eine Stelle als Grenzfall, Tangente, lokale Änderung.
Mit der h-Methode rechnen
Setze den zweiten $x$-Wert als $x+h$ an. Der Abstand der beiden Stellen ist dann $h$. So erhältst du
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
Wichtig: Für den Differenzenquotienten gilt zunächst $h\ne0$. Würdest du sofort $h=0$ einsetzen, stünde im Nenner null. Erst nach dem Einsetzen, Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Kürzen bildest du den Grenzwert.
Bestimme die Ableitungsfunktion von
$$f(x)=x^2+x-2.$$
1. $f(x+h)$ einsetzen
$$f(x+h)=(x+h)^2+(x+h)-2.$$
2. Differenz bilden
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2+(x+h)-2-(x^2+x-2)}{h}.$$
3. Ausmultiplizieren und zusammenfassen
$$\frac{x^2+2xh+h^2+x+h-2-x^2-x+2}{h}=\frac{2xh+h^2+h}{h}.$$
4. Für $h\ne0$ kürzen
$$\frac{h(2x+h+1)}{h}=2x+h+1.$$
5. Grenzwert bilden
$$f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h+1)=2x+1.$$
Die Ableitungsfunktion $f'(x)=2x+1$ gibt an jeder Stelle die lokale Steigung an.
Typische Fehler sind fehlende Klammern bei $f(x+h)$, ein vergessenes Minus vor $f(x)$, falsches Ausmultiplizieren und das zu frühe Einsetzen von $h=0$.
Was der Wert in einem Kontext bedeutet
Bei einer Weg-Zeit-Funktion $s(t)$ ist
$$\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$$
die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten. Der Differentialquotient $s'(t_0)$ ist dagegen die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0$.
Für $f(x)=x^2-2x+3$ soll die lokale Änderungsrate bei $x=2$ bestimmt werden. Es gilt $f(2)=3$ und damit
$$f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{x^2-2x+3-3}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{x(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}x=2.$$
Das Kürzen ist zulässig, solange $x\ne2$ gilt. Erst danach wird der Grenzwert gebildet. Die Tangente bei $x=2$ hat die Steigung $2$. In einem Sachzusammenhang muss das Ergebnis zusätzlich mit der passenden Einheit angegeben werden.
Wann der Differentialquotient nicht existiert
Ein Differentialquotient existiert nur, wenn sich die Sekantensteigungen von links und von rechts demselben endlichen Wert nähern. Dann heißt die Funktion an der Stelle differenzierbar.
Differenzierbarkeit
Eine Funktion ist an $x_0$ differenzierbar, wenn der Grenzwert
$$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
existiert. Der Grenzwert ist dann $f'(x_0)$.
Betrachte $f(x)=|x|$ bei $x_0=0$.
Für $x<0$ gilt $|x|=-x$. Die Steigung bei Annäherung von links ist daher
$$\lim_{x\to0^-}\frac{|x|-|0|}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{-x}{x}=-1.$$
Für $x>0$ gilt $|x|=x$. Die Steigung bei Annäherung von rechts ist
$$\lim_{x\to0^+}\frac{|x|-|0|}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x}=1.$$
Links ergibt sich $-1$, rechts $1$. Weil die Werte nicht übereinstimmen, existiert bei $0$ kein Differentialquotient. Der Graph hat dort einen Knick.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Differentialquotient
- entsteht als Grenzwert von Differenzenquotienten
- beschreibt lokale oder momentane Änderung
- entspricht der Tangentensteigung
- wird mit der h-Methode berechnet
- existiert nur bei übereinstimmendem Grenzwert
- Differenzenquotient
- beschreibt mittlere Änderung im Intervall
- entspricht der Sekantensteigung
- Deutung
- Ableitungsfunktion ordnet Stellen ihre Steigungen zu
- Einheit ist abhängige Größe pro unabhängige Größe