Differenzierbarkeit prüfen und verstehen

Wählst du auf dem Graphen die Punkte $P_1(x_0,f(x_0))$ und $P_2(x,f(x))$, dann ist

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

die Steigung ihrer Verbindungsgeraden, der Sekante. Sie beschreibt die mittlere Änderung zwischen beiden Punkten.

Rückt $x$ immer näher an $x_0$, kann sich die Sekantensteigung einer festen Zahl nähern. Diese Zahl ist die Steigung der Tangente und heißt Ableitung $f'(x_0)$.

Mit $x=x_0+h$ erhältst du die gleichwertige h-Methode:

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Die Zahl $h$ gibt dabei den Abstand von $x_0$ an. Für $h<0$ näherst du dich von links, für $h>0$ von rechts.

Gehe bei einer inneren Stelle $x_0$ in dieser Reihenfolge vor:

1. Prüfe, ob $f(x_0)$ definiert ist.
2. Setze $f(x_0+h)$ und $f(x_0)$ in den Differenzenquotienten ein.
3. Vereinfache den Quotienten für $h\ne0$.
4. Bestimme den Grenzwert für $h\to0$.
5. Prüfe bei einem Betrag oder Formelwechsel die Annäherung von links und rechts getrennt.

Ein endlicher gemeinsamer Grenzwert ist $f'(x_0)$. Verschiedene einseitige Grenzwerte, ein fehlender Grenzwert oder ein unbegrenztes Anwachsen bedeuten: An dieser Stelle ist die Funktion nicht differenzierbar.

Knick: unterschiedliche Steigungen

Für $f(x)=|x|$ gilt bei $x_0=0$:

• Rechts von $0$ ist $|x|=x$; der Differenzenquotient hat den Wert $1$.
• Links von $0$ ist $|x|=-x$; der Differenzenquotient hat den Wert $-1$.

Die einseitigen Grenzwerte sind verschieden. Deshalb ist die Betragsfunktion bei $0$ nicht differenzierbar. Der Graph besitzt dort einen Knick.

Formelwechsel: Werte und Steigungen prüfen

Betrachte

$$f(x)=\begin{cases}x^3,&x\le1,\\-x+2,&x>1.\end{cases}$$

Beide Teilformeln liefern an der Nahtstelle den Wert $1$. Die Funktion ist dort also stetig. Links ergibt sich jedoch die Steigung $3$, rechts die Steigung $-1$. Wegen dieser unterschiedlichen Steigungen ist $f$ bei $1$ nicht differenzierbar.

Oszillation: keine Grenzsteigung

Die Funktion

$$f(x)=\begin{cases}x\sin(1/x),&x\ne0,\\0,&x=0\end{cases}$$

ist bei $0$ stetig. Ihr Differenzenquotient ist dort aber $\sin(1/x)$. Dieser Ausdruck schwankt beim Annähern an $0$ immer weiter zwischen $-1$ und $1$ und besitzt keinen Grenzwert. Daher ist die Funktion bei $0$ nicht differenzierbar.

Differenzierbarkeit erzwingt Stetigkeit. Denn für $x\ne x_0$ lässt sich schreiben:

$$f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,(x-x_0).$$

Ist der erste Faktor nahe $x_0$ durch einen endlichen Grenzwert kontrolliert und geht der zweite Faktor gegen $0$, dann geht auch $f(x)-f(x_0)$ gegen $0$. Somit nähert sich $f(x)$ dem Wert $f(x_0)$.

Daraus folgt eine schnelle Entscheidung: Ist eine Funktion bei $x_0$ nicht stetig, kann sie dort auch nicht differenzierbar sein. Stetigkeit allein reicht dagegen noch nicht als Nachweis.

Randpunkte und vertikale Tangenten

Am Rand eines Definitionsbereichs kannst du dich nur aus der zulässigen Richtung nähern. Für $w(x)=\sqrt{x}$ mit $x\ge0$ gilt an der Stelle $0$ rechtsseitig:

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0}=\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

Für $x\to0^+$ wächst dieser Ausdruck unbegrenzt. Es entsteht keine endliche Ableitung. Geometrisch kann man eine vertikale Tangente erkennen; sie besitzt aber keine endliche Steigung.

Ein endlicher einseitiger Grenzwert am Rand heißt einseitige Differenzierbarkeit. Die übliche Differenzierbarkeit an inneren Stellen verlangt dagegen einen zweiseitigen Grenzwert.

Differenzierbarkeit bedeutet nicht nur, dass eine Tangente existiert. Die Tangente beschreibt die Funktion in unmittelbarer Nähe von $x_0$ zunehmend gut:

$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

Die rechte Seite ist die lokale lineare Approximation. Der verbleibende Fehler muss im Vergleich zum Abstand $x-x_0$ gegen null gehen.

Die Ableitung selbst muss nicht stetig sein. Ist $f$ differenzierbar und zusätzlich $f'$ stetig, heißt $f$ stetig differenzierbar. Existieren weitere Ableitungen, spricht man von zwei-, drei- oder allgemein $n$-maliger Differenzierbarkeit; die $n$-te Ableitung schreibt man als $f^{(n)}$.