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Differenzierbarkeit sagt, ob ein Graph an einer Stelle eine eindeutige Tangentensteigung hat. Damit erkennst du, ob Ableiten dort sinnvoll ist.
- Ich kann das Thema Differenzierbarkeit in eigenen Worten erklären.
- Ich kann typische Aufgaben zu diesem Thema Schritt für Schritt lösen.
- Ich kann wichtige Begriffe erkennen und voneinander unterscheiden.
- Ich kann meine Rechnung oder Entscheidung mit einer Probe kontrollieren.
Worum es geht
Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Anschaulich darf der Graph dort keinen Knick, Sprung oder senkrechte Tangente haben.
Differenzierbarkeit
Eine Funktion ist in \(x_0\) differenzierbar, wenn \(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) existiert.
Differenzierbar bedeutet immer auch stetig, aber stetig bedeutet nicht immer differenzierbar.
Schritt für Schritt
Prüfe zuerst, ob die Funktion an der Stelle definiert und stetig ist. Vergleiche dann linke und rechte Steigung oder berechne den Grenzwert des Differenzenquotienten.
\(f(x)=x^2\) bei \(x_0=3\).
\(\frac{(3+h)^2-3^2}{h}=\frac{9+6h+h^2-9}{h}=6+h\).
Für \(h\to0\) wird das \(6\). Also ist \(f\) dort differenzierbar und \(f'(3)=6\).
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Typische Fehler vermeiden
Ein Graph kann ohne Sprung stetig sein und trotzdem nicht differenzierbar, zum Beispiel \(f(x)=|x|\) bei 0 wegen des Knicks.
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Prüfungsmodus
Bei Betragsfunktionen und stückweise definierten Funktionen musst du links und rechts getrennt prüfen.
\(f(x)=|x|\) bei 0.
Links ist die Steigung \(-1\), rechts ist sie \(1\). Die einseitigen Steigungen stimmen nicht überein. Also ist \(f\) bei 0 nicht differenzierbar.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Differenzierbarkeit verbindet Graphbild und Rechnung. Eine eindeutige Tangentensteigung gibt es nur, wenn der Differenzenquotient von beiden Seiten denselben Grenzwert hat.