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Tangente und Normale berechnen – einfach erklärt
Die Tangente hat am Berührpunkt dieselbe Steigung wie der Funktionsgraph. Die Normale verläuft durch denselben Punkt und steht senkrecht auf der Tangente. Mit der ersten Ableitung kannst du beide Geraden bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was unterscheidet Tangente und Normale?
Für eine Funktion $f$ und eine Stelle $x_0$ lautet der gemeinsame Punkt beider Geraden:
$$P(x_0|f(x_0))$$
Tangente
Die Tangente ist die Gerade, die am Punkt $P$ dieselbe Steigung wie der Funktionsgraph besitzt. Ihre Steigung ist der Ableitungswert:
$$m_{tan}=f'(x_0)$$
Normale
Die Normale verläuft ebenfalls durch $P$, steht dort aber senkrecht auf der Tangente. Für $m_{tan}\neq 0$ gilt:
$$m_{norm}=-1/m_{tan}$$
Der Ausdruck negativer Kehrwert bedeutet: Du vertauschst Zähler und Nenner und änderst das Vorzeichen. Aus $m_{tan}=2$ wird zum Beispiel $m_{norm}=-1/2$.
Sind beide Steigungen endlich und $m_{tan}\neq 0$, dann gilt als Kontrolle:
$$m_{tan}\cdot m_{norm}=-1$$
Wie stellst du beide Gleichungen auf?
Du brauchst die Funktion $f$, ihre Ableitung $f'$ und die vorgegebene Stelle $x_0$.
- Berechne den Punkt mit $y_0=f(x_0)$.
- Bestimme die Tangentensteigung mit $m_{tan}=f'(x_0)$.
- Setze Punkt und Steigung in die Punkt-Steigungs-Form ein:
$$y-y_0=m(x-x_0)$$
Für die Tangente erhältst du direkt:
$$y_{tan}=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
- Falls $m_{tan}\neq 0$ ist, berechne $m_{norm}=-1/m_{tan}$.
- Setze den gemeinsamen Punkt und die Normalensteigung ebenfalls in die Punkt-Steigungs-Form ein.
Du kannst beide Gleichungen anschließend zur Form $y=mx+b$ umformen. Die Punkt-Steigungs-Form ist oft schneller, weil der bekannte Punkt bereits eingesetzt werden kann.
Wie sieht eine vollständige Rechnung aus?
Gegeben sind
$$f(x)=x^3-2x$$
und die Stelle $x_0=1$.
1. Ableitung bilden
$$f'(x)=3x^2-2$$
2. Berührpunkt bestimmen
$$f(1)=1^3-2\cdot 1=-1$$
Damit ist $P(1|-1)$.
3. Tangentensteigung berechnen
$$m_{tan}=f'(1)=3\cdot 1^2-2=1$$
4. Tangente aufstellen
$$y+1=1(x-1)$$
$$y_{tan}=x-2$$
5. Normalensteigung bestimmen
$$m_{norm}=-1/1=-1$$
6. Normale aufstellen
$$y+1=-1(x-1)$$
$$y_{norm}=-x$$
7. Ergebnis prüfen
Beide Geraden enthalten $P(1|-1)$. Außerdem gilt $1\cdot(-1)=-1$; sie stehen also senkrecht aufeinander.
Jetzt du
Bestimme Tangente und Normale an $f(x)=3x^2+1$ bei $x_0=1$.
Was passiert bei einer waagerechten Tangente?
Ist $f'(x_0)=0$, dann ist die Tangente waagerecht:
$$y=f(x_0)$$
Die Rechnung $m_{norm}=-1/0$ ist nicht erlaubt. Die Normale ist in diesem Fall eine senkrechte Gerade:
$$x=x_0$$
Für $f(x)=x^2$ an der Stelle $x_0=0$ gilt $f(0)=0$ und $f'(0)=0$.
Die Tangente lautet $y=0$. Die dazu senkrechte Normale lautet $x=0$.
Prüfe die Tangentensteigung, bevor du den negativen Kehrwert bildest. Bei $m_{tan}=0$ lautet die Normale $x=x_0$.
Typische Fehler vermeiden
- Setze $x_0$ in $f$ ein, um die Höhe $f(x_0)$ zu erhalten.
- Setze $x_0$ in $f'$ ein, um die Steigung $f'(x_0)$ zu erhalten.
- Ändere beim negativen Kehrwert sowohl den Bruch als auch das Vorzeichen.
- Teile nie durch null.
- Prüfe am Ende, ob beide Geraden durch den gemeinsamen Punkt verlaufen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Tangente und Normale
- gemeinsamer Punkt: $P(x_0|f(x_0))$
- Tangente: Steigung $f'(x_0)$
- Normale: negativer Kehrwert
- Geradenform: $y-y_0=m(x-x_0)$
- Kontrolle: Steigungsprodukt $-1$
- Sonderfall: bei $f'(x_0)=0$ ist die Normale $x=x_0$
Abschluss-Check
Du bist fertig, wenn du bei einer gegebenen Stelle zuerst Punkt und Tangentensteigung bestimmst, danach den passenden Normalenfall auswählst und beide Geraden durch Einsetzen des gemeinsamen Punkts prüfst.