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Der Differenzenquotient misst die durchschnittliche Änderung zwischen zwei Stellen. Er ist die Brücke von der bekannten Sekantensteigung zur Ableitung.
- Ich kann den Differenzenquotienten erklären.
- Ich kann ihn aus zwei Funktionswerten berechnen.
- Ich kann Sekantensteigung und mittlere Änderungsrate verbinden.
- Ich kann ihn von der momentanen Änderungsrate unterscheiden.
Mittlere Änderung
Wenn du wissen willst, wie stark sich eine Funktion zwischen zwei Stellen im Durchschnitt ändert, nutzt du den Differenzenquotienten.
Differenzenquotient
Der Differenzenquotient zwischen \(x_1\) und \(x_2\) ist \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\). Er beschreibt die Steigung der Sekante durch zwei Punkte.
Für \(f(x)=x^2\) zwischen \(x_1=1\) und \(x_2=3\):
\(f(1)=1\), \(f(3)=9\).
Die mittlere Änderungsrate ist 4.
Oben steht die Änderung der Funktionswerte, unten die Änderung der x-Werte.
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Verbindung zur Ableitung
Wenn die beiden Stellen immer näher zusammenrücken, nähert sich die Sekante einer Tangente. Daraus entsteht die momentane Änderungsrate.
Sekante
Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Graphen in zwei betrachteten Punkten schneidet. Ihre Steigung ist der Differenzenquotient.
Ein Auto fährt nach 2 s 18 m und nach 5 s 63 m.
Mittlere Geschwindigkeit: \(\frac{63-18}{5-2}=\frac{45}{3}=15\) m/s.
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Prüfungsmodus
Achte auf die Reihenfolge der Punkte. Wenn du oben \(f(x_2)-f(x_1)\) rechnest, musst du unten \(x_2-x_1\) rechnen. Sonst kann das Vorzeichen falsch werden.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Der Differenzenquotient misst Durchschnittsänderung zwischen zwei Stellen. Er ist die Steigung einer Sekante und führt gedanklich zur Ableitung, wenn die Punkte immer näher zusammenliegen.